- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chương phương pháp tọa độ không gian kế thừa khá nhiều công thức của chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Do đó nếu ai học tốt phần Oxy thì không quá khó để học tốt phần này.
Về phần công thức thì các thầy cô cho rất nhiều rồi, nhưng việc học thuộc hết là không dễ. Nên mình chỉ ghi một số kiến thức cốt lõi không được phép quên, chỉ cần các bạn nhớ vài công thức sau là có thể tự làm được đa số các bài tập cơ bản và trên cơ bản, không nên nhớ nhiều công thức giải nhanh.
*Cho điểm A(x;y;z) và điểm B(x';y';z')
1) Tọa độ vecto AB: [tex]\overrightarrow{AB}=(x'-x;y'-y;z'-z)[/tex]
2) Độ dài đoạn thẳng AB: [tex]AB=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}[/tex]
3) Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ: [tex](\frac{x+x'}{2};\frac{y+y'}{2};\frac{z+z'}{2})[/tex]
Với tọa độ trọng tâm tam giác ABC thì tương tự như trung điểm, cũng là lấy trung bình công của từng thành phần x,y,z
*Tích vô hướng của 2 vecto:
Gọi [tex]\overrightarrow{u}(x;y;z);\overrightarrow{v}(x';y';z')[/tex]
Ta có tích vô hướng của u và v là [tex]\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left | \overrightarrow{u} \right |.\left | \overrightarrow{v} \right |.cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xx'+yy'+zz'[/tex]
Từ đó suy ra [tex]cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{xx'+yy'+zz'}{|\overrightarrow{v}|.|\overrightarrow{u}|}[/tex]
Nếu 2 vecto vuông góc với nhau thì tích vô hướng bằng 0.
*Tích có hướng của 2 vecto:
Chữ có hướng có nghĩa là kết quả của phép tính này là 1 vecto. Công thức tính như sau:
[tex][\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=[/tex]
Với từng thành phần là định thức mà các bạn đã biết, về cách nhớ để viết được định thức này thì như sau:
x; y;z;x;y
x';y';z';x';y'
Các bạn viết hết tọa độ ở 2 vecto ra, đủ 3 tọa độ thì quay lại viết từ đầu theo đúng thứ tự sau cho đủ 5 phần tử. Viết định thức thì tính cho thành phần tọa độ nào, chỉ cần lấy theo đúng thứ tự từ trái qua phải 2 thằng kế tiếp nó trong dãy 5 phần tử trên. Ví dụ mình tính x thì từ trái qua phải mình lấy y;z , tính y thì lấy z x,.....
Vecto là kết quả của tích có hướng có tính chất là vuông góc với cả 2 vecto nhân ra nó.
*Phương trình mặt phẳng:
Để xác định được 1 mp thì cần biết điểm mà nó đi qua kèm vecto pháp tuyến của nó. Vecto pháp tuyến thường kí hiệu là [tex]\overrightarrow{n}[/tex]
Gọi [tex]\overrightarrow{n}[/tex](A;B;C) và điểm đi qua là A(a;b;c)
Phương trình mặt phẳng có dạng A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0
Đặc biệt, nếu mặt phẳng (P) cắt 3 trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì ta có thể viết pt (P) dưới dạng pt mặt chắn: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex] (lưu ý là =1 chứ không phải =0 như ở trên, nếu ai nhớ mang máng là 0 hay 1 không rõ thì có thể thay luôn 1 điểm vào xem thỏa mãn hay không là rõ)
Góc giữa 2 mp: cho trước 2 măt phẳng (P) và (Q), ta áp dụng chuyển đổi qua góc giữa 2 vtpt n và n' của (P) và (Q) để tìm.
[tex]cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'})=\frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{n'}|}[/tex]( phải đóng trị tuyệt đối khác với công thức tính góc giữa 2 vecto bình thường, vì góc giữa 2 mp không thể lớn hơn 90 độ nên cos của chúng phải không âm
Công thức khoảng cách từ điểm A(a;b;c) tới mp (P): Ax+By+Cz+D=0
[tex]d(a;(P))=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/tex]
*Phương trình đường thẳng:
Để xác định 1 đường thẳng cần biết 1 điểm mà nó đi qua, và vecto chỉ phương(thường kí hiệu là u).
Cho A(a;b;c) và [tex]\overrightarrow{u}[/tex](A;B;C), có 2 dạng viết pt đường thẳng
1) Pt tham số( khi làm bài tập khuyên nên viết dạng này để tìm giao điểm các thứ cho dễ):
[tex]\left\{\begin{matrix} x=a+At\\ y=b+Bt\\ c=c+Ct \end{matrix}\right.[/tex]
2) pt chính tắc:
[tex]\frac{x-a}{A}=\frac{y-b}{B}=\frac{z-c}{C}[/tex] (lưu ý phải đúng y hệt dạng này, nếu gặp bài toán hỏi vecto chỉ phương của đường thẳng có pt như trên thì phải xem hệ số của x,y,z ở tử đã bằng 1 chưa, nếu khác ở đâu thì phải chia cả tử và mẫu sao cho hệ số đúng về 1)
Hai vecto cùng phương( dùng để xét vị trí tương đối của đường thẳng với đường thẳng, mặt phẳng với mặt phẳng...).
[tex]\overrightarrow{u}(a;b;c)//\overrightarrow{u'}(a';b';c')<=>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}[/tex]
Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, có 2 cách tính:
Cách 1: dùng công thức đã được cho trước ( không khuyến khích với người mới học):
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d được tính bởi công thức:
d(A;d)=[tex]\frac{|[\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|}[/tex]
Với A' là 1 điểm bất kì thuộc d do ta tự chọn, u là vecto chỉ phương của d
Cách 2: cách làm hiểu
Ta biết rằng nếu tìm được H là hình chiếu của A lên d thì có thể tính được d(A;d)=AH. Bằng mô phỏng thực tế( dùng bút, thước kẻ làm đường thẳng) ta thấy rằng với 1 điểm và 1 đường thẳng đã biết, chỉ tìm được duy nhất 1 hình chiếu. Do đó việc tìm hình chiếu là giải được. Cụ thể do H thuộc d nên ta có thể tọa độ hóa được H theo d: H(a+At;b+Bt;c+Ct). Từ đó ta tìm được tọa độ vecto AH. Sau đó nhân tích vô hướng [tex]\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0[/tex] là được pt 1 ẩn t và có thể giải được. Cách này không hề lâu hơn so với áp thẳng công thức ở cách 1.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng, cũng có 2 cách tính :
Cách 1 : dùng công thức được cho trước ( vẫn không khuyến khích)
Ta có khoảng cách giữa 2 đường thẳng d và d' đã được cho trước là:
[tex]\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}]\overrightarrow{AA'}|}{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}]|}[/tex]
Với u, u' lần lượt là vtcp của d và d' , A và A' lần lượt là 2 điểm thuộc d và d'
Cách 2: cách làm hiểu
Ta biết rằng trong bài toán hình học không gian, để tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta dựng 1 mp (P) chứa d' và // với d. Từ d ta chỉ cần chọn 1 điểm M bất kì và tính d(M;(P)) là xong.
Vậy ta có thể làm như sau: do (P)//d nên vtpt của (P) vuông góc với cả d và d'. Vậy ta tính vtpt bằng tích có hướng :[tex]\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}][/tex]
Tới đây chỉ cần lấy 1 điểm A bất kì thuộc d' là viết được pt (P) chứa d' và // với d. Tiếp theo chỉ cần chọn M thuộc d và sử dụng công thức khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mp là xong
*Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có pt dạng:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2[/tex]
Một số công thức như vậy theo mình là đủ chiến đấu rồi lúc mới học rồi đấy. Ai có thắc mắc gì về chương này có thể hỏi vào đây hoặc post bài mới trên diễn đàn. Chúc các bạn học tốt.
Về phần công thức thì các thầy cô cho rất nhiều rồi, nhưng việc học thuộc hết là không dễ. Nên mình chỉ ghi một số kiến thức cốt lõi không được phép quên, chỉ cần các bạn nhớ vài công thức sau là có thể tự làm được đa số các bài tập cơ bản và trên cơ bản, không nên nhớ nhiều công thức giải nhanh.
*Cho điểm A(x;y;z) và điểm B(x';y';z')
1) Tọa độ vecto AB: [tex]\overrightarrow{AB}=(x'-x;y'-y;z'-z)[/tex]
2) Độ dài đoạn thẳng AB: [tex]AB=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}[/tex]
3) Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ: [tex](\frac{x+x'}{2};\frac{y+y'}{2};\frac{z+z'}{2})[/tex]
Với tọa độ trọng tâm tam giác ABC thì tương tự như trung điểm, cũng là lấy trung bình công của từng thành phần x,y,z
*Tích vô hướng của 2 vecto:
Gọi [tex]\overrightarrow{u}(x;y;z);\overrightarrow{v}(x';y';z')[/tex]
Ta có tích vô hướng của u và v là [tex]\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left | \overrightarrow{u} \right |.\left | \overrightarrow{v} \right |.cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xx'+yy'+zz'[/tex]
Từ đó suy ra [tex]cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{xx'+yy'+zz'}{|\overrightarrow{v}|.|\overrightarrow{u}|}[/tex]
Nếu 2 vecto vuông góc với nhau thì tích vô hướng bằng 0.
*Tích có hướng của 2 vecto:
Chữ có hướng có nghĩa là kết quả của phép tính này là 1 vecto. Công thức tính như sau:
[tex][\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=[/tex]
Với từng thành phần là định thức mà các bạn đã biết, về cách nhớ để viết được định thức này thì như sau:
x; y;z;x;y
x';y';z';x';y'
Các bạn viết hết tọa độ ở 2 vecto ra, đủ 3 tọa độ thì quay lại viết từ đầu theo đúng thứ tự sau cho đủ 5 phần tử. Viết định thức thì tính cho thành phần tọa độ nào, chỉ cần lấy theo đúng thứ tự từ trái qua phải 2 thằng kế tiếp nó trong dãy 5 phần tử trên. Ví dụ mình tính x thì từ trái qua phải mình lấy y;z , tính y thì lấy z x,.....
Vecto là kết quả của tích có hướng có tính chất là vuông góc với cả 2 vecto nhân ra nó.
*Phương trình mặt phẳng:
Để xác định được 1 mp thì cần biết điểm mà nó đi qua kèm vecto pháp tuyến của nó. Vecto pháp tuyến thường kí hiệu là [tex]\overrightarrow{n}[/tex]
Gọi [tex]\overrightarrow{n}[/tex](A;B;C) và điểm đi qua là A(a;b;c)
Phương trình mặt phẳng có dạng A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0
Đặc biệt, nếu mặt phẳng (P) cắt 3 trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì ta có thể viết pt (P) dưới dạng pt mặt chắn: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex] (lưu ý là =1 chứ không phải =0 như ở trên, nếu ai nhớ mang máng là 0 hay 1 không rõ thì có thể thay luôn 1 điểm vào xem thỏa mãn hay không là rõ)
Góc giữa 2 mp: cho trước 2 măt phẳng (P) và (Q), ta áp dụng chuyển đổi qua góc giữa 2 vtpt n và n' của (P) và (Q) để tìm.
[tex]cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'})=\frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{n'}|}[/tex]( phải đóng trị tuyệt đối khác với công thức tính góc giữa 2 vecto bình thường, vì góc giữa 2 mp không thể lớn hơn 90 độ nên cos của chúng phải không âm
Công thức khoảng cách từ điểm A(a;b;c) tới mp (P): Ax+By+Cz+D=0
[tex]d(a;(P))=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/tex]
*Phương trình đường thẳng:
Để xác định 1 đường thẳng cần biết 1 điểm mà nó đi qua, và vecto chỉ phương(thường kí hiệu là u).
Cho A(a;b;c) và [tex]\overrightarrow{u}[/tex](A;B;C), có 2 dạng viết pt đường thẳng
1) Pt tham số( khi làm bài tập khuyên nên viết dạng này để tìm giao điểm các thứ cho dễ):
[tex]\left\{\begin{matrix} x=a+At\\ y=b+Bt\\ c=c+Ct \end{matrix}\right.[/tex]
2) pt chính tắc:
[tex]\frac{x-a}{A}=\frac{y-b}{B}=\frac{z-c}{C}[/tex] (lưu ý phải đúng y hệt dạng này, nếu gặp bài toán hỏi vecto chỉ phương của đường thẳng có pt như trên thì phải xem hệ số của x,y,z ở tử đã bằng 1 chưa, nếu khác ở đâu thì phải chia cả tử và mẫu sao cho hệ số đúng về 1)
Hai vecto cùng phương( dùng để xét vị trí tương đối của đường thẳng với đường thẳng, mặt phẳng với mặt phẳng...).
[tex]\overrightarrow{u}(a;b;c)//\overrightarrow{u'}(a';b';c')<=>\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}[/tex]
Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, có 2 cách tính:
Cách 1: dùng công thức đã được cho trước ( không khuyến khích với người mới học):
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d được tính bởi công thức:
d(A;d)=[tex]\frac{|[\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|}[/tex]
Với A' là 1 điểm bất kì thuộc d do ta tự chọn, u là vecto chỉ phương của d
Cách 2: cách làm hiểu
Ta biết rằng nếu tìm được H là hình chiếu của A lên d thì có thể tính được d(A;d)=AH. Bằng mô phỏng thực tế( dùng bút, thước kẻ làm đường thẳng) ta thấy rằng với 1 điểm và 1 đường thẳng đã biết, chỉ tìm được duy nhất 1 hình chiếu. Do đó việc tìm hình chiếu là giải được. Cụ thể do H thuộc d nên ta có thể tọa độ hóa được H theo d: H(a+At;b+Bt;c+Ct). Từ đó ta tìm được tọa độ vecto AH. Sau đó nhân tích vô hướng [tex]\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0[/tex] là được pt 1 ẩn t và có thể giải được. Cách này không hề lâu hơn so với áp thẳng công thức ở cách 1.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng, cũng có 2 cách tính :
Cách 1 : dùng công thức được cho trước ( vẫn không khuyến khích)
Ta có khoảng cách giữa 2 đường thẳng d và d' đã được cho trước là:
[tex]\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}]\overrightarrow{AA'}|}{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}]|}[/tex]
Với u, u' lần lượt là vtcp của d và d' , A và A' lần lượt là 2 điểm thuộc d và d'
Cách 2: cách làm hiểu
Ta biết rằng trong bài toán hình học không gian, để tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta dựng 1 mp (P) chứa d' và // với d. Từ d ta chỉ cần chọn 1 điểm M bất kì và tính d(M;(P)) là xong.
Vậy ta có thể làm như sau: do (P)//d nên vtpt của (P) vuông góc với cả d và d'. Vậy ta tính vtpt bằng tích có hướng :[tex]\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}][/tex]
Tới đây chỉ cần lấy 1 điểm A bất kì thuộc d' là viết được pt (P) chứa d' và // với d. Tiếp theo chỉ cần chọn M thuộc d và sử dụng công thức khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mp là xong
*Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có pt dạng:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2[/tex]
Một số công thức như vậy theo mình là đủ chiến đấu rồi lúc mới học rồi đấy. Ai có thắc mắc gì về chương này có thể hỏi vào đây hoặc post bài mới trên diễn đàn. Chúc các bạn học tốt.
