còn may bài nua nhờ các bạn.

[tominhduc_06]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [TEX]a,b,c \geq 0 ; a + b + c = 3 .CM[/TEX]
[TEX]\frac{a}{b^2 + 1} + \frac{b}{c^2 + 1} + \frac{c}{a^2 + 1} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[tuananh8]

cho [TEX]a,b,c \geq 0 ; a + b + c = 3 .CM[/TEX]
[TEX]\frac{a}{b^2 + 1} + \frac{b}{c^2 + 1} + \frac{c}{a^2 + 1} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

dùng cô-si ngược dấu:

[TEX]\blue \frac{a}{b^2+1}= \frac{(ab^2+a)-ab^2}{b^2+1}=a- \frac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX] (vì [TEX]\blue b^2+1 \geq 2\sqrt[]{b^2}=2b)[/TEX]

Tương tự với [TEX]\blue \frac{b}{c^2+1}[/TEX] và [TEX]\blue \frac{c}{a^2+1}[/TEX] ta được:

[TEX]\blue \frac{b}{c^2+1} \geq b-\frac{bc}{2}[/TEX]; [TEX]\blue c-\frac{c}{a^2+1} \geq \frac{ac}{2}[/TEX]

cộng 3 vế ba BĐT trên ta được [TEX]\blue \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+ \frac{c}{a^2+1} \geq (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]

Mà [TEX]\blue ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3 \Rightarrow -(ab+bc+ca) \geq -3[/TEX]

[TEX]\blue \Rightarrow \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+ \frac{c}{a^2+1} \geq (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2} \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/TEX] (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]\blue a=b=c=3[/TEX].

 

[billgate_tl_nthai]

dùng cô-si ngược dấu:

[TEX]\blue \frac{a}{b^2+1}= \frac{(ab^2+a)-ab^2}{b^2+1}=a- \frac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX] (vì [TEX]\blue b^2+1 \geq 2\sqrt[]{b^2}=2b)[/TEX]

Tương tự với [TEX]\blue \frac{b}{c^2+1}[/TEX] và [TEX]\blue \frac{c}{a^2+1}[/TEX] ta được:

[TEX]\blue \frac{b}{c^2+1} \geq b-\frac{bc}{2}[/TEX]; [TEX]\blue c-\frac{c}{a^2+1} \geq \frac{ac}{2}[/TEX]

cộng 3 vế ba BĐT trên ta được [TEX]\blue \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+ \frac{c}{a^2+1} \geq (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]

Mà [TEX]\blue ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3 \Rightarrow -(ab+bc+ca) \geq -3[/TEX]

[TEX]\blue \Rightarrow \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+ \frac{c}{a^2+1} \geq (a+b+c)- \frac{ab+bc+ca}{2} \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/TEX] (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]\blue a=b=c=3[/TEX].

Cho mình hỏi chút, tại sao [TEX]\blue ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/tex] ?

 

[tuananh8]

Cho mình hỏi chút, tại sao [TEX]\blue ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/tex] ?

Ta có: [TEX]\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 0[/TEX] hay [TEX]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca \Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geq 3(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/TEX]