$\color{Red}{\fbox{Event box Toán} \text{Sàn thi đấu}}$

[congchuaanhsang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là nơi BTC post đề và công bố kết quả sau mỗi lượt chấm.

Mọi người quyết chiến quyết thắng nào :khi (192):

 

[congchuaanhsang]

Đề thi lượt 1 vòng 1

Câu 1: Cho $A=2x+\sqrt{5-x^2}$ ( $-\sqrt{5}$ \leq x \leq $\sqrt{5}$ )

Chứng minh rằng $-2\sqrt{5}$ \leq $A$ \leq $5$

Câu 2: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:

$B=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c} \ge 3$

 

[congchuaanhsang]

Đáp án câu 1 đợt 1

Bài làm của bạn phuong_july

C1. Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta được:

$A^2=(2x+1.\sqrt{5-x^2})^2$ \leq $(2^2+1^2)(x^2+5-x^2)=25$

\Rightarrow $A^2$ \leq $25$.

*$A^2=25$ tương đương

+ $\frac{x}{2}=\sqrt{5-x^2}$

+ $-\sqrt{5}$ \leq $x$ \leq$\sqrt{5}$

Tương đương

+ $x$ \geq 0

+ $x^2=4(5-x^2)$ (1)

+ $-\sqrt{5}$\leq$x$ \leq $\sqrt{5}$

Giải (1) ta tìm được: $x_1=2; x_2=-2$.

Do 0 \leq $x$ \leq $\sqrt{5}$ \Rightarrow $x=2$

Với $x=2$ thì $A=5$.

Vậy $max_A=5$ \Leftrightarrow $x=2$ (2)

Do $A^2$ \leq 25 suy ra $-5$ \leq A \leq 5 nhưng không xảy ra trường hợp $A=-5$

Do $-\sqrt{5}$\leq $x$ \leq$\sqrt{5}$ suy ra $2x$ \geq $-2.\sqrt{5}$

Mặt khác: $\sqrt{5-x^2}$\geq0 nên $A=2x+\sqrt{5-x^2}$ \geq$-2.\sqrt{5}$

Vậy $min_A=-2.\sqrt{5}$ khi $x=-\sqrt{5}$ (3)

Kết hợp (2) và (3) ta được đpcm.

$A=-2.\sqrt{5}$ khi $x=-\sqrt{5}$

$A=5$ khi chỉ khi $x=2$

 

[congchuaanhsang]

Đáp án câu 2 của người ra đề:

Chuẩn hoá $a+b+c=1$

$VT=\sum \dfrac{a^2}{a-2a^2} \ge \dfrac{1}{1-2\sum a^2} \ge \dfrac{1}{1-\dfrac{2(\sum a)^2}{3}}=3$
Bài làm của bạn phuong_july và cũng là của đa số thí sinh:

Câu 2. Đặt $b+c-a=x$, $c+a-b=y$, $a+b-c=z$ thì
$\left\{\begin{matrix}2a=y+z & & \\ 2b=x+z & & \\ 2c=x+y & & \end{matrix}\right.$
Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Suy ra:
$\left\{\begin{matrix}a+b>c & & \\ b+c>a & & \\ a+c>b & &\end{matrix}\right.$
Suy ra:
$\left\{\begin{matrix}x>0 & & \\ y>0 & & \\ z>0 & & \end{matrix}\right.$
Suy ra:
$\left\{\begin{matrix}2a>0 & & \\ 2b>0 & & \\ 2c>0 & & \end{matrix}\right.$
Ta c ó: $2B= \frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}$
$= \frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}= (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})$
Do $x,y,z$ l à c ác s ố d ư ơng. Áp d ụng B ĐT C ô-si ta c ó:
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ \geq $2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2$
$\frac{x}{z}+\frac{z}{x}$ \geq $2.\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}=2$
$\frac{y}{z}+\frac{z}{y}$ \geq $2.\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2$
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được:
$2B$ \geq 6 suy ra $B$ \geq3.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ tương đương $a=b=c$
Đồng hồ của mình giờ là $8.25$ .

 

[congchuaanhsang]

Kết quả đợt 1 vòng 1

Tổng cộng có 13 bạn nộp bài:

phuong_july | 20
toiyeu9a3 | 18,75
tanngoclai | 18,75
popstar1102 | 18,75
braga | 18
tahoangthaovy | 17,5
nguyentranminhhb | 17
satthuphucthu | 16,75
anhbez9 | 16,75
zezo_flyer | 16,75
su10112000a | 16
lebalinhpa1 | 15,5
cherrynguyen_298 | 15,5

 

[congchuaanhsang]

Số điểm các bạn tích lũy được qua đợt 1 vòng 1:

phuong_july | 20
toiyeu9a3 | 18,75
tanngoclai | 18,75
popstar1102 | 18,75
braga | 18
tahoangthaovy | 17,5
nguyentranminhhb | 17
satthuphucthu | 16,75
anhbez9 | 16,75
zezo_flyer | 16,75
su10112000a | 16
lebalinhpa1 | 15,5
cherrynguyen_298 | 15,5
lehoangphuc1820 | 0
lililovely | 0
thuong0504 | 0
congratulation11 | 0
boy _ 100 | 0
baihocquygia | 0
pinkylun | 0

Vì kết thúc vòng này sẽ chọn ra 3 bạn điểm số cao nhất vào vòng 2 tranh giải cá nhân nên mong các bạn đừng bỏ lỡ cơ hội lấy điểm nào!

 

[congchuaanhsang]

Đề thi vòng 1 đợt 2

Câu 1: Cho $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$P=a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$ \geq $\dfrac{1}{3}$

Câu 2: Cho $-2 < x < 2$. Chứng minh rằng:

$A=\dfrac{10-3x}{\sqrt{4-x^2}}$ \geq $4$

 

[congchuaanhsang]

Chà chà đợt 2 này các bạn làm BGK bọn mình ngạc nhiên hết sức đấy :-w

Không chỉ vì điểm cao chót vót mây xanh mà còn vì ít bạn nộp bài quá :|

Đây là danh sách điểm của các bạn nộp bài:

tanngoclai | 20
phuong_july | 20
braga | 19,5
anhbez9 | 19,5
zezo_flyer | 19,5
satthuphucthu | 19,5
popstar1102 | 19
tahoangthaovy | 18,5
toiyeu9a3 | 18

Còn 3 đợt nữa là sẽ đến vòng 2. Trong 3 đợt đó hãy cố gắng lật ngược tình thế nào!

 

[congchuaanhsang]

Số điểm các bạn đã tích lũy được qua 2 đợt:

phuong_july | 40
anhbez9 | 39,25
zezo_flyer | 39,25
tanngoclai | 38,75
popstar1102 | 37,75
braga | 37,5
toiyeu9a3 | 36,75
satthuphucthu | 36,25
tahoangthaovy | 36
nguyentranminhhb | 17
su10112000a | 16
lebalinhpa1 | 15,5
cherrynguyen_298 | 15,5
lehoangphuc1820 | 0
lililovely | 0
thuong0504 | 0
congratulation11 | 0
boy _ 100 | 0
baihocquygia | 0
pinkylun | 0

 

[congchuaanhsang]

Đề thi đợt 3 vòng 1

Chỗ mình hôm nay có thông báo mất điện nên post đề sớm một chút đề phòng

Câu 1: Cho $A=x(99+\sqrt{101-x^2})$

Chứng minh rằng $-1000$ \leq $A$ \leq $1000$

Câu 2: Cho $x^2+y^2=4$. Chứng minh rằng

$B=\dfrac{xy}{x+y+2}$ \leq $\sqrt{2}-1$

 

[congchuaanhsang]

Kết quả đợt 3 vòng 1

toiyeu9a3 | 19
tanngolai | 19
phuong_july | 18,5
tahoangthaovy | 18,5
satthuphucthu | 18
anhbez9 | 15,5
popstar1102 | 12
zezo_flyer | 11,75
baihocquygia | 10,5

 

[congchuaanhsang]

Tổng điểm các bạn tích lũy được qua 3 đợt

phuong_july | 58,5
tanngoclai | 57,75
toiyeu9a3 | 55,75
anhbez9 | 54,75
tahoangthaovy | 54,5
satthuphucthu | 54,25
zezo_flyer | 51
popstar1102 | 49,75
braga | 37,5
nguyentranminhhb | 17
su10112000a | 16
lebalinhpa1 | 15,5
cherrynguyen_298 | 15,5
baihocquygia | 10,5
lehoangphuc1820 | 0
lililovely | 0
thuong0504 | 0
congratulation11 | 0
boy _ 100 | 0

 

[congchuaanhsang]

Đáp án đợt 3 vòng 1

Bài làm của bạn tanngoclai (chỉ có câu 1 làm giống đáp án )

Bài 1 :

Ta có : $A=x(99+\sqrt{101-x^2}) = 99x + x\sqrt{101-x^2} \ \ \ \ \ (-\sqrt{101} \le x \le \sqrt{101})$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :

$x\sqrt{101-x^2} = 2(\dfrac{x}{2\sqrt{5}}.\sqrt{5}\sqrt{101-x^2}) \le \dfrac{x^2}{20} - 5x^2 + 505 = \dfrac{-99x^2}{20}+505$

$\to A = 99x + x\sqrt{101-x^2} \le 99x + \dfrac{-99x^2}{20}+505 = 1000 - 99(\dfrac{x^2}{20} - x + 5) = 1000 - 99(\dfrac{x}{\sqrt{20}} - \sqrt{5})^2$

Vì $99(\dfrac{x}{\sqrt{20}} - \sqrt{5})^2 \ge 0$

$\to A \le 1000 - 99(\dfrac{x}{\sqrt{20}} - \sqrt{5})^2 \le 1000$

Dấu "=" xảy ra khi : $x=10$ (Thỏa mãn $-\sqrt{101} \le x \le \sqrt{101}$ )

Lại có : $-(\dfrac{x}{\sqrt{20}} + \sqrt{505-5x^2})^2 \le 0 \to x\sqrt{101-x^2} \ge \dfrac{-x^2}{20} + 5x^2 -505 = \dfrac{99x^2}{20}-505$

$\to A = 99x + x\sqrt{101-x^2} \ge 99 + \dfrac{99x^2}{20}-505 = 99(\dfrac{x}{2\sqrt{5}}+\sqrt{5})^2 - 1000 $

Vì : $99(\dfrac{x}{2\sqrt{5}}+\sqrt{5})^2 \ge 0$

$\to A \ge 99(\dfrac{x}{2\sqrt{5}}+\sqrt{5})^2 - 1000 \ge -1000$

Dấu "=" xảy ra khi : $x=-10$ ( Thỏa mãn $-\sqrt{101} \le x \le \sqrt{101}$)

Vậy $-1000 \le A \le 1000$

Bài 2 :

Ta có : $(x-y)^2 \ge 0 \to x^2 + y^2 \ge 2xy \to 4 \ge 2xy \to 2\ge xy$

Lại có : $x^2 + y^2 \ge 2xy \to 2(x^2+y^2) \ge (x+y)^2 \to 8 \ge (x+y)^2 \to x+y \le \sqrt{8}= 2\sqrt{2}$

Do đó, ta có : $B=\dfrac{xy}{x+y+2} \le \dfrac{2}{2\sqrt{2} + 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}+1} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \sqrt{2}-1 (dpcm)$

Dấu "=" xảy ra khi : $x=y$ và $x+y=2\sqrt{2}$ \Rightarrow $x=y=\sqrt{2}$

 

[congchuaanhsang]

Đáp án câu 2 của người ra đề:

$2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=(x+y)^2-4=(x+y+2)(x+y-2)$

\Leftrightarrow $\dfrac{xy}{x+y+2}=\dfrac{x+y-2}{2}$

Mà $x+y$ \leq $\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2}$

Do đó $\dfrac{xy}{x+y+2}$ \leq $\dfrac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$

 

[congchuaanhsang]

Đề thi đợt 4 vòng 1

Câu 1: Cho a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ \leq 8

Chứng minh rằng $P=ab+bc+ca$ \geq $-8$

Câu 2: Cho x,y>0 thỏa mãn $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)$ \geq 4

Chứng minh rằng $S=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}$ \geq $2$

 

[congchuaanhsang]

Kết quả đợt 4 vòng 1

Đề càng ngày càng khó nên số lượng thí sinh nộp bài cũng ít đi :|

Thật ra cũng không quan trọng lắm vì BGK chỉ cần 3 thí sinh vào vòng 2 thôi )

phuong_july | 20
toiyeu9a3 | 20
tanngoclai | 19,5
satthuphcuthu | 19,5
tahoangthaovy | 15
anhbez9 | 10,5

 

[congchuaanhsang]

Số điểm các bạn tích lũy được qua 4 đợt

phuong_july | 78,5
tanngoclai | 77,25
toiyeu9a3 | 75,75
satthuphucthu | 73,75
tahoangthaovy | 69,5
anhbez9 | 65,25
zezo_flyer | 51
popstar1102 | 49,75
braga | 37,5
nguyentranminhhb | 17
su10112000a | 16
lebalinhpa1 | 15,5
cherrynguyen_298 | 15,5
baihocquygia | 10,5
lehoangphuc1820 | 0
lililovely | 0
thuong0504 | 0
congratulation11 | 0
boy _ 100 | 0

 

[congchuaanhsang]

Bài làm của bạn phuong_july:

Các bạn tham khảo bài 1

Câu 1.
* Phần làm theo đề:
0 \leq$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
\Rightarrow $ab+bc+ca$ \geq $-4 >-8$
Không xảy ra dấu bằng.
* Em nghĩ chắc phải chứng minh: $ab+bc+2ca$ >= -8.
Phần CM:
0 \leq $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
\Rightarrow$ab+bc+ca$ \geq$-4$
Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a+b+c= & \\ a^2+b^2+c^2=8 & \end{matrix}\right.$
Mặt khác:
$\frac{a^2+c^2}{2}$ \geq -ac \Rightarrow $ac$ \geq $-\frac{a^2+c^2}{2}$
\Rightarrow$ab+bc+ca+ca$ \geq $-4-\frac{a^2+c^2}{2}$
Ta có:
$a^2+c^2$ \leq $a^2+c^2+b^2$ \leq 8.
\Rightarrow $\frac{a^2+c^2}{2}$ \geq-4. \Rightarrow $ab+bc+ca+ca$ \geq $-4-4=-8$
Vậy $ab+bc+ca+ca$ \geq$-8$.
Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a+b+c=0 & & & \\ a^2+b^2+c^2=8 & & & \\ b=0 & & & \\ a+c=0 & & & \end{matrix}\right.$
Tương đương: $a=2,c=-2,b=0$.
Câu 2. Do $x,y>0$. Áp dụng BĐT Côsi ta được:
$\frac{x^2}{y}+y$\geq $2.\sqrt{ \frac{x^2}{y}.y}=2x$
$\frac{y^2}{x}+x$ \geq $2.\sqrt{ \frac{y^2}{x}.x}=2y$
Cộng 2 vế BĐT trên ta được: $\frac{x^2}{y}+y+\frac{y^2}{x}+x$ \geq $2(x+y)$ \Leftrightarrow$S$ \geq $(x+y)$ ( * )
Mặt khác theo gt ta có:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}$ \geq3. (1)
Lại áp dụng BĐT Cô si ta được:
+ $\sqrt{x}$ \leq $\frac{x+1}{2}$
+ $\ sqrt{y}$ \leq $\frac{y+1}{2}$
+ $\sqrt{xy}$ \leq $\frac{x+y}{2}$
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}$ \leq $x+y+1$ (2)
Từ (1), (2) \Rightarrow $x+y$ \geq 2. (**)
Từ ( * ), (**) \Rightarrow $S$ \geq2.
Dấu “=” xảy ra khi $x=y=1$

P.s: Chị rất ấn tượng vì em còn mở rộng đề bài

 

[congchuaanhsang]

BGK đã nhận thêm được 1 cách nữa cho bài 1 của phuong_july và cũng là cách của người ra đề

Câu 1. $(ab+bc+ac+8)$ \geq $ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2$
Dễ cm được:
$ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2$ \geq 0.
Thật vậy:
$ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2$ \geq 0.
\Leftrightarrow $2(ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2)$ \geq 0.
\Leftrightarrow $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2$ \geq 0 (luôn đúng)
\Rightarrow đpcm.
Đẳng thức không xảy ra.

 

[congchuaanhsang]

Đề thi đợt 5 vòng 1

Câu 1: Cho a,b,c dương và:

$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$

Chứng minh: $ab + bc + ca - abc$ \leq $2$

Câu 2: Cho x,y,z $\in$ [-1;3] và $x+y+z=3$

Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2$ \leq $11$

Đây là đợt cuối nên các bạn hãy cố gắng bứt phá nhé

Good luck and success!