$\color{9900FF}{\fbox{ ÔN THI ĐẠI HỌC 2014-2015 }\bigstar\text{ Phương trình lượng giác}\bigstar}$

[hmu95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phương trình lượng giác​

Nội dung:


Nhằm ôn tập củng cố kiền thức phục vụ ôn thi ĐH 2014 - 2015 mình sẽ hệ thống các chuyên đề để mở rộng vốn kiến thức, giúp nâng cao kĩ năng giải toán

Các bài toán được đưa lên theo dạng hoặc bài toán bạn đang thắc mắc, hoặc muốn đưa lên thử sức mọi người nhưng lưu ý là mức độ thi Đại học nhé!

Nội quy:
+ Tránh spam nhé!
+ Khuyến khích dùng các bài đã thi ĐH
+ Tránh post bài tràn lan, tối đa 3 bài 1 lần post
+ Mục đích "cùng học, cùng hiểu" rồi " cùng bước chân vào ĐH"
+ Khuyến khích mọi tâng lớp tham gia từ lớp 10, 11 và 12 và các bạn năm sau xuất chiến!

Cố gắng lên nhé các bạn!!!

Hệ thống các chuyên đề ôn thi

1. Bài toán về hàm số
2. Phương trình lượng giác
3. Hệ phương trình
4. Tích phân
5. Thể tích, khoảng cách
6. Tọa độ trong mặt phẳng Oxy
7. Tọa độ trong mặt phẳng Oxyz
8. Số phức, nhị thức Niu-tơn, xác suất....
9. Bất đẳng thức

 

[hmu95]

Khởi động nhẹ nhàng nào....^^!~

Bài 1 :

[tex](sinx+\sqrt{3}cosx)sin3x=2[/tex]

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

Khởi động nhẹ nhàng nào....^^!~

Bài 1 :

[tex](sinx+\sqrt{3}cosx)sin3x=2[/tex]

\[\begin{array}{l}
(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\sin 3x = 2\\
\Leftrightarrow \sin x\sin 3x + \sqrt 3 \cos x\sin 3x = 2\\
\Leftrightarrow \sin 3x\cos (\frac{\pi }{2} - x) + \sqrt 3 \cos x\sin 3x = 2\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}[\sin (2x + \dfrac{\pi }{2}) + \sin (4x - \dfrac{\pi }{2})] + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}[\sin 4x + \sin 2x] = 2\\
\Leftrightarrow (\cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x) - (\cos 4x - \sqrt 3 \sin 4x) = 4\\
\Leftrightarrow \sin (2x + \dfrac{\pi }{6}) + \cos (4x + \dfrac{\pi }{3}) = 4\\
2x + \dfrac{\pi }{6} = t \Rightarrow 4x + \dfrac{\pi }{3} = 2t\\
\Rightarrow \sin t + \cos 2t = 4\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}t - \sin t + 3 = 0(VN)
\end{array}\]
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

Khởi động nhẹ nhàng nào....^^!~

Bài 1 :

[tex](sinx+\sqrt{3}cosx)sin3x=2[/tex]

Em nghĩ bài này phải là: $(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\sin 3x = \dfrac{1}{2}$
Khi đó phương trình sẽ có nghiệm rất đẹp:
\[\begin{array}{l}
(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\sin 3x = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sin x\sin 3x + \sqrt 3 \cos x\sin 3x = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sin 3x\cos (\frac{\pi }{2} - x) + \sqrt 3 \cos x\sin 3x = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}[\sin (2x + \dfrac{\pi }{2}) + \sin (4x - \dfrac{\pi }{2})] + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}[\sin 4x + \sin 2x] = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow (\cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x) - (\cos 4x - \sqrt 3 \sin 4x) = 1\\
\Leftrightarrow \sin (2x + \dfrac{\pi }{6}) + \cos (4x + \dfrac{\pi }{3}) = 1\\
2x + \dfrac{\pi }{6} = t \Rightarrow 4x + \dfrac{\pi }{3} = 2t\\
\Rightarrow \sin t + \cos 2t = 1\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}t - \sin t = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin t = 0\\
\sin t = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = k\pi \\
t = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \dfrac{\pi }{6} = k\pi \\
2x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2}\\
x = k\pi
\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}
\end{array}\]

 

[hmu95]

Các bạn làm phức tạp quá và chưa đúng nữa ^^

Bài 1 :

[tex](sinx+\sqrt{3}cosx)sin3x=2[/tex]

Giải:
(*)<=> [tex]sin(x+\frac{\pi }{3})sin3x = 1[/tex]

Nhận xét rằng: [tex]sin(x+\frac{\pi }{3})sin3x \leq 1[/tex] Do: [tex]sin(x+\frac{\pi }{3}) \leq 1[/tex] và [tex]sin3x \leq 1[/tex]

Vậy dấu "=" xảy ra khi :

$\begin{cases} &sin(x+\frac{\pi }{3})=1\\ &sin3x=1\end{cases}$
Giải ra và tổng hợp điều kiện được: [tex]x=\frac{\pi }{6}+k2 \pi [/tex]

Tương tự với $\begin{cases} &sin(x+\frac{\pi }{3})=-1\\ &sin3x=-1\end{cases}$
Được : [tex]x=\frac{-5 \pi }{6}+k2 \pi [/tex]

(Tốt nhất là chúng ta nên vẽ đường tròn để loại nghiệm cho dễ)

Kết luận: [tex]x=\frac{\pi }{6}+k \pi [/tex]

 

[hmu95]

Bài 2 :

[tex]sin^{8}x+cos^{8}x=2(sin^{10}x+cos^{10}x)+\frac{5}{4}cos2x[/tex]

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

Bài 2 :

[tex]sin^{8}x+cos^{8}x=2(sin^{10}x+cos^{10}x)+\frac{5}{4}cos2x[/tex]

Em không thông minh lắm nên bài làm hơi dài, em không tìm được cách nào ngắn hơn Anh xem giúp em ạ
\[\begin{array}{l}
{\sin ^8}x + {\cos ^8}x = 2({\sin ^{10}}x + {\cos ^{10}}x) + \dfrac{5}{4}\cos 2x\\
\Leftrightarrow {\sin ^8}x + {\cos ^8}x = 2({\sin ^{10}}x + {\cos ^{10}}x) + \dfrac{5}{4}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x)\\
a = {\cos ^2}x,b = {\sin ^2}x;a,b \le 1;a + b = 1\\
\Rightarrow {a^4} + {b^4} = 2({a^5} + {b^5}) + \dfrac{5}{4}(a - b)\\
\Leftrightarrow (2{a^5} - {a^4}) + (2{b^5} - {b^4}) + \dfrac{5}{4}[a - (1 - a)] = 0\\
\Leftrightarrow {a^4}(2a - 1) + {b^4}[2(1 - a) - 1] + \dfrac{5}{4}(2a - 1) = 0\\
\Leftrightarrow {a^4}(2a - 1) - {b^4}(2a - 1) + \dfrac{5}{4}(2a - 1) = 0\\
\Leftrightarrow (2a - 1)({a^4} - {b^4} + \dfrac{5}{4}) = 0\\
\Leftrightarrow (2a - 1)[(2ab - 1)(2a - 1) - \dfrac{5}{4}] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2a - 1 = 0\\
(2ab - 1)(2a - 1) - \dfrac{5}{4} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
(2{\cos ^2}x{\sin ^2}x - 1)\cos 2x - \dfrac{5}{4} = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
{\cos ^3}2x + \cos 2x + \dfrac{5}{2} = 0
\end{array} \right.(*)\\
f(t) = {t^3} + t + \dfrac{5}{2}\\
f'(t) = 3{t^2} + 1 > 0\forall t \Rightarrow f(t) - dong - bien - tren - R\\
Neu: - 1 \le t \le 1 \Rightarrow f( - 1) \le f(t)\; \le f(1) \Rightarrow \dfrac{5}{2} \le f(t)\; \le \dfrac{9}{2}\\
\Rightarrow f(t) > 0\forall t \in [ - 1;1]\\
(*) \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},k \in Z
\end{array}\]

 

[hmu95]

Các em dài thật đó , he
Tham khảo cách này nhé :

Bài 2 :

[tex]sin^{8}x+cos^{8}x=2(sin^{10}x+cos^{10}x)+\frac{5}{4}cos2x[/tex]

[tex] {\color{Blue} \leftrightarrow sin^8x(1-2sin^2x)+cos^8x(1-2cos^2x)=\frac{5}{4}cos2x}[/tex]

[tex] {\color{Blue} \leftrightarrow sin^8xcos2x-cos^8xcos2x=\frac{5}{4}cos2x}[/tex]

$ {\color{Blue} \leftrightarrow \begin{cases} & \text cos2x =0 \\ & \text sin^8x - cos^8x = \frac{5}{4} (VN)\end{cases}} $

[tex] {\color{Blue} \leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}; k \in Z }[/tex]

 

[hmu95]

Bài 3 :

$cos2x+cos4x+cos6x=cosx.cos2x.cos3x+2$

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

Bài 3 :

$cos2x+cos4x+cos6x=cosx.cos2x.cos3x+2$

\[\begin{array}{l}
\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x.\cos 2x.\cos 3x + 2\\
\Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos 4x + \cos 2x} \right]\cos 2x + 2\\
\Leftrightarrow 2\cos 4x + 3\cos 4x\cos 2x - {\cos ^2}2x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow 3\cos 4x + 6\cos 4x\cos 2x - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 3\\
\Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 3\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + {\cos ^2}2x - \cos 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 3\cos 2x + 2} \right) = 0(*)\\
f(t) = 2{t^2} + 3t + 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2 > 0\\
\Delta = {3^2} - 4.2.2 = - 7 < 0
\end{array} \right. \Rightarrow f(t) > 0\forall t\\
(*) \Leftrightarrow \cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z
\end{array}\]

 

[hmu95]

Bài 4
$\frac{1}{4}(sin^{10}x+cos^{10}x)=\frac{sin^{6}x+cos^{6}x}{sin^{2}2x+4cos^{2}2x}$

Anh thấy lượng giác em khá phết đấy

 

[trangbi_9x]

nhờ trợ giúp

[TEX]8{cos}^{3}(x+\frac{\pi }{3})=cos3x[/TEX]

Tớ giải như sau:

[TEX]\Leftrightarrow 8(\frac{cos(3x+\pi)+3cos(x+\frac{\pi}{3})}{4})= cos3x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2(-cos3x + \frac{3}{2}(cosx-\sqrt{3}sinx))=cos3x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cosx-\sqrt{3}sinx=cos3x[/TEX]


Làm đến đây thì không biết làm ra sao nữa @-)

Thầy giáo tớ dạy cho có cách đặt ẩn nữa nhưng thầy bảo hướng này cũng ra được kết quả đúng.​

 

[nednobita]

[TEX]8{cos}^{3}(x+\frac{\pi }{3})=cos3x[/TEX]

Tớ giải như sau:

[TEX]\Leftrightarrow 8(\frac{cos(3x+\pi)+3cos(x+\frac{\pi}{3})}{4})= cos3x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2(-cos3x + \frac{3}{2}(cosx-\sqrt{3}sinx))=cos3x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cosx-\sqrt{3}sinx=cos3x[/TEX]


Làm đến đây thì không biết làm ra sao nữa @-)

Thầy giáo tớ dạy cho có cách đặt ẩn nữa nhưng thầy bảo hướng này cũng ra được kết quả đúng.​

đến bước cuối rồi vế trái chuyển thành cos hay sin vế phải đưa về bậc 3 giải tiếp

 

[connhikhuc]

[TEX]8{cos}^{3}(x+\frac{\pi }{3})=cos3x[/TEX]

Tớ giải như sau:

[TEX]\Leftrightarrow 8(\frac{cos(3x+\pi)+3cos(x+\frac{\pi}{3})}{4})= cos3x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2(-cos3x + \frac{3}{2}(cosx-\sqrt{3}sinx))=cos3x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cosx-\sqrt{3}sinx=cos3x[/TEX] (1)


Làm đến đây thì không biết làm ra sao nữa @-)

Thầy giáo tớ dạy cho có cách đặt ẩn nữa nhưng thầy bảo hướng này cũng ra được kết quả đúng.​

để mình làm tiếp cho:

ta có (1) :

[TEX]cosx - \sqrt[]{3}sinx = 4cos^3 x-3cosx[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]4cos^3 x - 4cosx + \sqrt[]{3}sinx = 0[/TEX]

nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm chia hai vế cho [TEX]cos^3 x[/TEX] đưa về PT với tanx và giải

 

[nednobita]

nhận thấy cosx =o ko thỏa mãn. vì cos x ko phải là nghiệm
lưu ý chứ nhiều người sai lắm .

 

[hocmai.toan12]

Tiếp nhé các bạn

Bài 5
[tex]sinx+\sqrt{2-sin^{2}x}+sinx.\sqrt{2-sin^{2}x}=3[/tex]

 

[vuthienthien]

Bài 4
$\frac{1}{4}(sin^{10}x+cos^{10}x)=\frac{sin^{6}x+cos^{6}x}{sin^{2}2x+4cos^{2}2x}$

$\frac{1}{4}(sin^{10}x+cos^{10}x)=\frac{sin^{6}x+cos^{6}x}{sin^{2}2x+4cos^{2}2x}$

<=>$\frac{1}{4}(sin^{10}x + cos^{10}x)$ = $\frac{1}{4}$

<=> $sin^{10}x + cos^{10}x = 1$

vì |sinx|\leq 1 và |cosx|\leq 1 nên $sin^{10}x + cos^{10}x $\leq $sin^2x + cos^2x = 1$

dấu ''='' xảy ra <=> sinx = +_1 hoặc cosx=+_1

 

[bub.luna]

giúp mình 2 bài này nha

1. [TEX]\frac{2sin(2x + \frac{\Pi}{3}) + 2sin(x + \frac{\Pi}{3}) - 1}{2cosx - \sqrt{3}} = 1[/TEX]

2. [TEX]16sinx.cos4x + 1 = \sqrt{3}(tanx + tan2x) + tanx.tan2x[/TEX]

 

[henry.le]

giúp mình 2 bài này nha

1. [TEX]\frac{2sin(2x + \frac{\Pi}{3}) + 2sin(x + \frac{\Pi}{3}) - 1}{2cosx - \sqrt{3}} = 1[/TEX]
[/TEX]

Đk: cosx $\ne$ [TEX] \frac{\sqrt[]{3}}{2}[/TEX]
<=> x $\ne$ [TEX] \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi (k \in Z) [/TEX]
Với đk trên, pt trở thành
2(sin2x.cos$\frac{\pi}{3}$+sin$\frac{\pi}{3}$.cos2x)+2(sinx.cos$\frac{\pi}{3}$+sin$\frac{\pi}{3}$.cosx)-1=2cosx-$\sqrt[]{3}$
<=> sin2x+$\sqrt[]{3}$cos2x+sinx+$\sqrt[]{3}$cosx-1-2cosx+$\sqrt[]{3}$=0
<=> 2sinx.cosx+2$\sqrt[]{3}$.$cos^2 x$-$\sqrt[]{3}$+sinx+$\sqrt[]{3}$cosx-1-2cosx+$\sqrt[]{3}$=0
<=> $\sqrt[]{3}$cosx(2cosx+1)+2cosx(sinx-1)+sinx-1=0
<=> $\sqrt[]{3}$cosx(2cosx+1)+(sinx-1)(2cosx+1)=0
<=> (2cosx+1)(sinx-1+$\sqrt[]{3}$cosx)=0

đến đây là ra rồi nhá

 

[codelyoko712]

Tiếp nhé các bạn

Bài 5
[tex]sinx+\sqrt{2-sin^{2}x}+sinx.\sqrt{2-sin^{2}x}=3[/tex]

Đặt:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} a = sinx \\ b = sqrt{2-sin^2x} \end{array} \right.[/tex]

ĐK:
[TEX]|a| \le \ 1[/TEX]
[TEX]1 \le \ b \le \ sqrt{2}[/TEX]

Nhận xét rằng [TEX]a+b \ge \ 0[/TEX]

Khi đó ta có hệ:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} a^2 + b^2 = 2 \\ a + b +ab = 3 \end{array} \right.[/tex]

Giải hệ này êm rồi, ra được
[tex]\left\{ \begin{array}{l} a+b = 2 \\ ab=1 \end{array} \right.[/tex]

từ đó suy ra
[TEX]a=b=1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ \left{\begin{sinx=1}\\{sqrt{2-sin^2x}=1} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \left{\begin{sinx = 1}\\{sinx = \pm 1} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ sinx = 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi[/TEX]

Có chỗ nào sai sót mong mn thông cảm.