Có bao nhiêu số nguyên [imath]x \in [-2022;2022][/imath] để ứng với mỗi [imath]x[/imath] có tối thiểu [imath]64[/imath] số nguyên [imath]y[/imath] thoả mãn [imath]\log_3 \sqrt{x^4 + y} \ge \log_2(x + y)[/imath]?
giúp em với ạ em vảm ơn
wall_e.12Xét bất phương trình [imath]\log _{3} \sqrt{x^{4}+y} \geq \log _{2}(x+y)(1)[/imath]
ĐKXĐ : [imath]\left\{\begin{array}{l}x^{4}+y>0 \\ x+y>0 \\ x, y \in \mathbb{Z}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 1 \\ x, y \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\right.[/imath].
Đặt [imath]t=x+y[/imath] ta được [imath]t \geq 1[/imath].
[imath](1) \iff \log _{3} \sqrt{x^{4}+t-x} \geq \log _{2} t(2)[/imath]
Với mỗi [imath](x \in \mathbb{Z})[/imath] có tối thiểu [imath]64(y \in \mathbb{Z})[/imath] thoả [imath](1)[/imath] nên có tối thiểu 64 số nguyên [imath]t[/imath] [imath](t \geq 1)[/imath] thoả [imath](2)[/imath].
Xét hàm số [imath]y=f(t)=\log _{3} \sqrt{x^{4}+t-x}-\log _{2} t=\dfrac{1}{2} \log _{3}\left(x^{4}+t-x\right)-\log _{2} t[/imath], vì [imath]f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{2\left(x^{4}+t-x\right) \ln 3}-\dfrac{1}{t \ln 2}<0, \forall x, \forall t \geq 1[/imath] nên [imath]f(t)[/imath] nghịch biến trên [imath][1 ;+\infty)[/imath].
Ta nhận thấy [imath]x^{4}-x+1=x(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)+1 \geq 1[/imath], do đó [imath]\log _{3}\left(x^{4}-x+1\right) \geq \log _{3} 1=0[/imath].
Do đó phương trình (2) luôn nhận nghiệm [imath]t=1, \forall x \in \mathbb{Z}[/imath].
Suy ra để mỗi [imath](x \in \mathbb{Z})[/imath] có tối thiểu [imath]64(y \in \mathbb{Z})[/imath] thì
[imath]f(64) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \log _{3}\left(x^{4}-x+64\right)-\log _{2} 64 \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^{4}-x+64 \geq 3^{12} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x \geq 27 \\ x \leq-27\end{array}\right.[/imath] (do [imath]\left.x \in \mathbb{Z}\right)[/imath].
Kết hợp [imath]x \in[-2022 ; 2022][/imath] ta được [imath]x \in[-2022 ;-27] \cup[27 ; 2022][/imath].
Vậy có 3992 số nguyên [imath]x \in[-2022 ; 2022][/imath] thoả mãn.
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
