Toán 9 CMR: $L,M,N$ thẳng hàng

Thảo luận trong 'Tổng hợp Hình học' bắt đầu bởi AlexisBorjanov, 28 Tháng bảy 2021.

Lượt xem: 129

  1. AlexisBorjanov

    AlexisBorjanov Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    640
    Điểm thành tích:
    121
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Earth
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt sáu môn học.


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại S. AS cắt EF, DE, (O), BC tại I, L, K, J. Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AB.
    a) CMR BFEC nội tiếp và AE.AC=AF.AB
    b) CMR [tex]\frac{SA}{SK}=\frac{JA}{JK}[/tex]
    c) CMR I là trung điểm EF
    d) CMR L, M, N thẳng hàng
    Em xin cảm ơn!
    Hinh b4 270721.jpg
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng tám 2021
    hoàng việt namDuy Quang Vũ 2007 thích bài này.
  2. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,428
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    b) Ta có: [tex]\frac{SA}{SK}=\frac{SA}{SB}.\frac{SB}{SK}=\frac{AB}{BK}.\frac{AB}{BK}=\frac{AB^2}{BK^2};\frac{SA}{SK}=\frac{SA}{SC}.\frac{SC}{SK}=\frac{AC}{CK}.\frac{AC}{CK}=\frac{AC^2}{BC^2}[/tex]
    Nhân lại ta có: [tex]\frac{SA^2}{SK^2}=\frac{AB^2}{BK^2}.\frac{AC^2}{CK^2}\Rightarrow \frac{SA}{SK}=\frac{AB}{BK}.\frac{AC}{CK}[/tex]
    Lại có:
    [tex]\frac{JA}{JK}=\frac{JA}{JB}.\frac{JB}{JK}=\frac{AC}{BK}.\frac{AB}{KC} \Rightarrow \frac{SA}{SK}=\frac{JA}{JK}[/tex]
    c) [tex]\Delta AFI \sim \Delta AKB \Rightarrow \frac{AF}{AK}=\frac{IF}{BK}[/tex]
    Tương tự thì [tex]\frac{AE}{AK}=\frac{EI}{KC} \Rightarrow \frac{IE}{IF}.\frac{BK}{KC}=\frac{AE}{AF}[/tex]
    Lại có: [tex]\frac{BK}{AB}=\frac{SB}{SA}=\frac{SC}{SA}=\frac{CK}{AC}\Rightarrow \frac{BK}{CK}=\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\Rightarrow \frac{IE}{IF}=1 \Rightarrow IE=IF[/tex]

    d) Áp dụng định lí Menélaus cho tam giác AJC có D, L, E thẳng hàng ta có:
    [tex]\frac{LJ}{LA}.\frac{EA}{EC}.\frac{DC}{DJ}=1\Rightarrow \frac{LJ}{LA}=\frac{EC}{EA}.\frac{DJ}{DC}=\frac{EC}{DC}.\frac{DJ}{EA}=\frac{BC}{CA}.\frac{DJ}{EA}[/tex]
    Theo định lí Menélaus thì 3 điểm L, M, N thẳng hàng trong tam giác ABJ khi:
    [tex]\frac{MJ}{MB}.\frac{NB}{NA}.\frac{LA}{LJ}=1\Leftrightarrow \frac{MJ}{MB}=\frac{LJ}{LA}=\frac{BC}{CA}.\frac{DJ}{EA}\Leftrightarrow \frac{MJ}{DJ}=\frac{BC}{CA}.\frac{BM}{EA}\Leftrightarrow \frac{SM}{AD}=\frac{BC}{CA}.\frac{BC}{2EA}\Leftrightarrow \frac{SM.MO}{AD.MO}=\frac{BC^2}{2AE.AC} \Leftrightarrow \frac{BC^2}{4AD.MO}=\frac{BC^2}{2AE.AC}\Leftrightarrow AD.2MO=AE.AC \Leftrightarrow AD.2MO=AH.AD \Leftrightarrow AH=2MO[/tex](đúng)
    Vậy ta có đpcm.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY