Toán CMR: $\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

[Trương Hoài Nam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác AD. Chứng minh : [tex]\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}[/tex]

 

[hdiemht]

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác AD. Chứng minh : √2/AD = 1/AB + 1/AC

_____________________________
Kẻ [tex]DF\perp AC;DE\perp AB[/tex]
Dễ dàng chứng minh được: $AEDF$ là hình vuông
[tex]\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{CB}\Rightarrow \frac{1}{AB}=\frac{CD}{CB.DF};\frac{1}{AC}=\frac{BD}{ED.BC}\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{CD}{CB.DF}+\frac{BD}{ED.BC}=\frac{CD+DB}{ED.BC}=\frac{1}{DE}[/tex]
Bây giờ chỉ cần chứng minh: [tex]DE=\frac{1}{\sqrt{2}}AD[/tex]
Thật vậy: Áp dụng định lí $Pytago$ vào tam giác vuông $ADE$: [tex]AD=\sqrt{DE^2+EA^2}=DE\sqrt{2}\Leftrightarrow DE=\frac{1}{\sqrt{2}}AD[/tex]
Suy ra $dpcm$