Toán 8 CMR: $\frac{S_{1}}{AH^{2}}=\frac{S_{2}}{BH^{2}}=\frac{S_{3}}{CH^{2}}$

[minhtam8a2@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]\Delta ABC[/tex] nhọn. Các đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H.
Gọi [tex]S_{1},S_{2},S_{3}[/tex] lần lượt là diện tích các tam giác AB'C', BC'A', CA'B'.
Chứng minh: [tex]\frac{S_{1}}{AH^{2}}=\frac{S_{2}}{BH^{2}}=\frac{S_{3}}{CH^{2}}[/tex]

 

[Cute Boy]

Nối B' với C',A',nối C' với A'
Xét 2 tam giác vuông [tex]\Delta AB'H[/tex] và [tex]\Delta BA'H[/tex] ta có:
[tex]\angle AHB'=\angle BHA'[/tex] (đối đỉnh)
Nên [tex]\Delta AB'H\sim\Delta BA'H[/tex]
Suy ra [tex]\frac{AH}{BH}=\frac{B'A}{A'B}[/tex]
Do đó:[tex]\frac{AH^2}{BH^2}=\frac{B'A^2}{A'B^2}[/tex] [tex](1)[/tex]
Tương tự :[tex]\frac{BH^2}{CH^2}=\frac{C'B}{B'C};\frac{CH^2}{AH^2}=\frac{A'C}{C'A}[/tex] [tex](2)[/tex]
Xét 2 tam giác vuông BB'C và AA'C có góc C chung nên [tex]\Delta BB'C\sim \Delta AA'C[/tex]
Suy ra: [tex]\frac{BB'}{AA'}=\frac{BC}{AC}=\frac{B'C}{A'C}[/tex]
Hai tam giác A'B'C' và ABC có góc C chung và [tex]\frac{B'C}{A'C}=\frac{BC}{AC}=>\Delta A'C'B'\sim\Delta ABC[/tex]
Tương tự:[tex]\Delta B'C'A'\sim \Delta ABC,\Delta AB'C'\sim \Delta A'B'C'\sim \Delta A'CB'\sim \Delta ABC[/tex]
Nên [tex]\frac{SAB'C'}{SA'BC'}=\frac{B'A^2}{A'B^2}(3)[/tex]
[tex]\frac{SA'BC'}{SA'CB'}=\frac{C'B^2}{B'C^2}(4)[/tex]
Từ (1) và (3) ta có:
[tex]\frac{SAB'C'}{SA'BC'}=\frac{AH^2}{BH^2}[/tex]
Từ (2) và (4) ta có:
[tex]\frac{SAB'C'}{SA'CB'}=\frac{BH^2}{CH^2}[/tex]
Hay [tex]\frac{AH^2}{BH^2}=\frac{S1}{S2};\frac{BH^2}{CH^2}=\frac{S2}{S3}[/tex]
[tex]\frac{S1}{AH^2}=\frac{S2}{BH^2};\frac{S2}{BH^2}=\frac{S3}{CH^2}[/tex]
Vậy [tex]\frac{S1}{AH^2}=\frac{S2}{BH^2}=\frac{S3}{CH^2}[/tex]
Chăc bạn không cần nữa đâu nhỉ