Vẽ AI vuông góc với MN. Ta có: [tex]\widehat{DAQ}=\widehat{IAE}=45^o-\widehat{FAI} \Rightarrow \widehat{DQA}=\widehat{IEA}=\widehat{PEM}[/tex] Mà [tex]\widehat{DQA}=\widehat{PMB}\Rightarrow \widehat{PMB}=\widehat{MEP}\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{AMP}\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{APM}=\widehat{EAF}=45^o[/tex] Tương tự [tex]\widehat{ANF}=45^o \Rightarrow \Delta AMN[/tex] vuông cân tại A. Vẽ hình vuông AMHN, HM và HN cắt AP, AQ tại [TEX]G,R[/TEX]. Vẽ AI vuông với RG tại I. Trên tia đối tia NH lấy K sao cho [TEX]MG=KN[/TEX] Khi đó ta có: [TEX]\Delta AMG= \Delta ANK \Rightarrow AG=AK, \widehat{GAM}=\widehat{NAK} \Rightarrow \widehat{KAR}=\widehat{RAG}=45^o[/TEX] Từ đó [TEX]\Delta AKR=\Delta AGR \Rightarrow \widehat{ARK}=\widehat{ARG} \Rightarrow \Delta ARN= \Delta AIR \Rightarrow [/TEX] AR là trung trực của NI [TEX]\Rightarrow EN=EI[/TEX] Tương tự [TEX]FM=FI[/TEX] Lại có: [TEX]\widehat{AIE}=\widehat{ANE}=45^o,\widehat{AIF} =\widehat{AMF}=45^o \Rightarrow \widehat{EIF}=90^o \Rightarrow EF^2=EI^2+IF^2=EN^2+FM^2[/TEX]