Cho hình bình hành ABCD tâm O, M,N lần lượt là trung điểm BO và AO . Trên AB lấy F . Tia FM cắt đoạn BC tại E , FN cắt AD tại K. CMR AK + BE > BC
Muộn rồi nên chị hướng dẫn thôi nhé
Lười vẽ hình quá, em tự vẽ nhé
~~~
Từ [TEX]A,C[/TEX] lần lượt kẻ [tex]AI//EF//CJ[/tex] ( [tex]I\in BD;J\in BD[/tex])
Chứng minh được [TEX]OJ=OI[/TEX] nên [tex]BJ+BI=2BO[/tex]
Theo định lý Thales ta có
[tex]\frac{BA}{BF}=\frac{BI}{BM};\frac{BC}{BE}=\frac{BJ}{BM}\\\Rightarrow \frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BI+BJ}{BM}=\frac{2BO}{BM}=4[/tex]
Tương tự ta cũng được [tex]\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=4[/tex]
Suy ra [tex]AB.\left ( \frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}\right )+BC.\left ( \frac{1}{BE}+\frac{1}{AK} \right )=8[/tex]
Áp dụng BĐT bổ đề: với $a,b>0$ thì [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex] với dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX] ta được
[tex]8=AB.\left ( \frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}\right )+BC.\left ( \frac{1}{BE}+\frac{1}{AK} \right )\\\geq AB.\frac{4}{BF+AF}+BC.\frac{4}{BE+AK}\\=AB.\frac{4}{AB}+BC.\frac{4}{BE+AK}\\=4+\frac{4BC}{AK+BE}\\\Leftrightarrow 1\geq \frac{BC}{AK+BE}\\\Leftrightarrow AK+BE\geq BC(dpcm)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
