Toán CMR: $ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)\geqslant 2$

[Uchiha Sasuke']

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn [tex]0\leqslant a,b,c\leqslant 1[/tex] và [tex]\dpi{100} \fn_jvn a+b+c\geqslant 2[/tex].CMR:
[tex]\dpi{100} \fn_jvn $ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)\geqslant 2$[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Ta có: Do $0 \leq a,b,c \leq 1$ nên :
$a(a-1)(b-1) \geq 0
\\\Rightarrow a^2b-a^2-ab+a \geq 0
\\\Rightarrow a^2b+ab \geq a^2+2ab-a
\\\Rightarrow ab(a+1) \geq a^2+2ab-a
\\\Rightarrow \sum_{cyc}^{}ab(a+1)\geq (a+b+c)^2-(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c-1) \geq 2$
Dấu '=' khi 2 số bằng 1 1 số bằng 0