CMR $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$

H

huynhbachkhoa23

Giả sử $a\le b\ le c$
$$(b^2+2)(c^2+2)-\left[\dfrac{(b+c)^2}{4}+2\right]^2=\dfrac{-1}{16}(b-c)^2(b^2+c^2+6bc-16) \le 0\;\; (+)$$
Đến đây ta có $t=\dfrac{b+c}{2}=\dfrac{6-a}{2} \in \left[2, \dfrac{5}{2} \right]$

Từ $(+)$ ta được $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \le (a^2+2)(t^2+2)^2=\left[(6-2t)^2+2 \right](t^2+2)^2=g(t)$

Khảo sát hàm số.
 
H

huynhbachkhoa23

forum_ said:


Bài này nếu đề như trên nhưng đổi ĐK : a,b,c > 0 thì sẽ xử lí như thế nào nhỉ ?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Nếu $a,b,c\ge 0$ thì càng dễ nữa chị.
Giả sử $a\ge b\ge c$, khi đó: $$(b^2+2)(c^2+2)-2\left[(b+c)^2+2\right] = (bc)^2-4bc=bc(bc-4)$$
Theo giả thiết: $a+b+c=6 \ge \sqrt{bc}+2\sqrt{bc} \to bc\le 4$
Vì vậy mà: $$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \le 2(a^2+2)\left[(6-a)^2+2 \right]$$
Đến đây khảo sát nhưng ra kết quả còn cao hơn cả $216$
 
F

forum_

huynhbachkhoa23 said:
Nếu $a,b,c\ge 0$ thì càng dễ nữa chị.
Giả sử $a\ge b\ge c$, khi đó: $$(b^2+2)(c^2+2)-2\left[(b+c)^2+2\right] = (bc)^2-4bc=bc(bc-4)$$
Theo giả thiết: $a+b+c=6 \ge \sqrt{bc}+2\sqrt{bc} \to bc\le 4$
Vì vậy mà: $$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \le 2(a^2+2)\left[(6-a)^2+2 \right]$$
Đến đây khảo sát nhưng ra kết quả còn cao hơn cả $216$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Không . a,b,c > 0 cơ :D ;))

........................................................................................................................
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom