Toán 8 CM: [TEX]EB=(\frac{AN}{DF})^{2}.EF[/TEX]

[Nguyễn Quang Thắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN=CM; các đường thẳng DN,DM cắt AB theo thứ tự tại E,F
Chứng minh:
a)[TEX]AE^{2}=EB.FE[/TEX]
b)[TEX]EB=(\frac{AN}{DF})^{2}.EF[/TEX]

 

[hdiemht]

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN=CM; các đường thẳng DN,DM cắt AB theo thứ tự tại E,F
Chứng minh:
a)[TEX]AE^{2}=EB.FE[/TEX]
b)[TEX]EB=(\frac{AN}{DF})^{2}.EF[/TEX]

___________________________________________________________________________________________
a) Ta có: [tex]AD\parallel =MN\Rightarrow ADMN[/tex] là hình bình hành
[tex]\Rightarrow AN\parallel DF[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{AE}{EF}=\frac{EN}{ED}(1)[/tex]
Mặt khác: [tex]AD\parallel BN\Rightarrow \frac{EB}{AE}=\frac{EN}{ED}(2)[/tex]
Từ $(1);(2)$ suy ra: $\frac{AE}{EF}=\frac{EB}{AE}$
[tex]\Rightarrow AE^2=EB.FE[/tex]
b) Từ câu $a)$ suy ra:
[tex]AE=\frac{EB.EF}{AE}[/tex]
Lại có: [tex]\frac{EB}{EA}=\frac{EN}{ED}\Rightarrow BE=\frac{EN.EA}{ED}=\frac{EN}{ED}.EA[/tex]
Từ đó: [tex]BE=\frac{EN}{ED}.\frac{EB.EF}{AE}[/tex] ($*$)
Mà: [tex]\frac{EN}{ED}=\frac{EB}{AE}=\frac{AN}{DF}(Tales)[/tex] ($*'$)
Thay ($*'$) vào ($*$) ta được: [tex]BE=(\frac{AN}{DF})^2.EF[/tex] ($dpcm$)