Toán 9 CM hình học

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định, AB=Rcăn 2. Điểm P di động trên dây AB ( P# A,B). gọi (C;R1) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn(O;R ) tại B. 2 đườgn tròn (C;R1) và (D;R2) cắt nhau tại điểm thứ hai M.
a) trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C,D,O,M cũng thuộc một đường tròn.
b) chứng minh P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua 1 điểm cố định N.
c) tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất

 

[7 1 2 5]

a) Chứng minh được OCPD là hình chữ nhật [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} OC=PD\\ OD=PC \end{matrix}\right.[/tex]
Chứng minh được [tex]\Delta CPD=\Delta CMD\Rightarrow \widehat{CPD}=\widehat{CMD}=90^o=\widehat{COD}\Rightarrow CDOM[/tex] nội tiếp [tex]\Rightarrow OCPDM[/tex] nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{MOD}=\widehat{MCD}=\widehat{PCD}=\widehat{ODC}\Rightarrow OM//CD[/tex]
b) Dễ chứng minh được CP // OB và DP // OA theo định lí Ta-lét
Xét (C) có [tex]\widehat{AMP}=\frac{1}{2}\widehat{ACP}=45^o[/tex]
Tương tự xét (D) ta có [tex]\widehat{BMP}=45^o\Rightarrow \widehat{AMB}=90^o=\widehat{AOB}\Rightarrow MOAB[/tex] nội tiếp
[tex]\Rightarrow[/tex] M nằm trên đường tròn nội tiếp OAB.
Ta thấy OCPDM nội tiếp nên [tex]\widehat{OMP}=\widehat{ODP}=90^o[/tex]
Vẽ đường tròn nội tiếp OAB. Vì [TEX]\widehat{ODP}=90^o[/TEX] nên [TEX]\widehat{ODP}[/TEX] chắn đường kính AN của đường tròn nội tiếp OAB hay PD đi qua N cố định.
c) Dễ thấy: [tex]PM.PN=PA.PB\leq (\frac{PA+PB}{2})^2=\frac{AB^2}{4}=R^2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi P là trung điểm AB.
Gọi trung điểm của AB là I. Vẽ MH vuông với BA.
Dễ thấy AMB nội tiếp [tex](I;IA)\Rightarrow IM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}.R[/tex]
Lại có: [tex]IM\geq MH\Rightarrow MH\leq \frac{\sqrt{2}}{2}R\Rightarrow S_{AMB}=\frac{MH.AB}{2}\leq \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}R.\sqrt{2}R=\frac{1}{2}R^2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi H trùng I hay A,P,N thẳng hàng.