Cm hình học

[Kim Kim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 điểm A,B,C cố định nằm trên 1 đthẳng d ( B nằm giữa A và C ) . Vẽ đtròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O nằm trên đthẳng d) . Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến vs đtròn tâm O tại M và N . Gọi I là trung điểm của BC , AO cắt MN tại H và cắt đtròn tại P và Q (P nằm giữa A và O ) , BC cắt MN tại K

a, Cm điểm K cố định khi đtròn tâm O thay đổi

b, Gọi D là trung điểm HQ từ H kẻ đường vg góc vs MD cắt đường thẳng MP tại E . Cm P là trung điểm của ME

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

a) Dễ thấy tứ giác $OHKI$ nội tiếp. Do đó:
$AH.AO=AK.AI$.
Mặt khác áp dụng hệ thức lượng ta có: $AH.AO=AM^2=AB.AC$.
$A,B,C$ cố định nên $AM$ cố định mà $I$ cũng cố định $\Rightarrow K$ cố định.
b)Ta có: $\widehat{MEF}+\widehat{EMF}=90^0 \\\widehat{EMF}+\widehat{DMQ}=90^0 \\\Rightarrow \widehat{MEF}=\widehat{QMD}$.(1)
Mặt khác: $\widehat{FDH}=\widehat{FHM} \\\Rightarrow 180^0-\widehat{FDH}=180^0-\widehat{FHM} \\\Rightarrow \widehat{MDQ}=\widehat{MHE}$.(2)
Từ (1)(2) $\Rightarrow \triangle MHE \sim \triangle QDM \\\Rightarrow ME.QD=MQ.MH$.
Lại có: $MQ.MH=HQ.MP$.
$\Rightarrow ME.QD=HQ.MP=2QD.MP \\\Rightarrow ME=2MP$.(dpcm)