Toán 9 CM:$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}>2k-2$

[Hương Phạm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CM:$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}>2k-2$

 

[hdiemht]

View attachment 70776

Ta có: [tex]\frac{1}{\sqrt{k^2}}> \frac{2}{\sqrt{k^2}+\sqrt{k^2+1}}=2(\sqrt{k^2}-\sqrt{k^2+1})[/tex]
Áp dụng với bài toán trên:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}> 2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{k^2}-\sqrt{k^2-1})=2(\sqrt{k^2}-1)[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}> 2(k-1)=2k-2[/tex] (Vì [tex]k> 1[/tex] )

 

[Hương Phạm]

Xét số hạng thứ $k$ trong dãy ([tex]2\leq k\leq k^2-1[/tex]) ta có: [tex]\frac{1}{\sqrt{k^2}}> \frac{2}{\sqrt{k^2}+\sqrt{k^2+1}}=2(\sqrt{k^2}-\sqrt{k^2+1})[/tex]
Áp dụng với bài toán trên:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}> 2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{k^2}-\sqrt{k^2-1})=2(\sqrt{k^2}-1)[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}> 2(k-1)=2k-2[/tex] (Vì [tex]k> 1[/tex] )

Em cảm ơn ạ.^^

 

[Nguyễn Kim Ngọc]

cái này cm quy nạp nha bạn