CM: $\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} \ge a+b+c$

[nhat2701]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1/ Cho $a,b,c > 0$

C/m: $\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} \ge a+b+c$

P/s : xin lỗi nhak, em ko biết đánh dấu, phần là phân số nhak

 

[cry_with_me]

)

áp dụng BDT cauchy:

$\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} ≥ 2.\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}} = 2b \ \ \ \ (1)$

tương tự

$\dfrac{ab}{c} + \dfrac{ac}{b} ≥ 2a \ \ \ \ (2)$

$\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} ≥ 2c \ \ \ \ (3)$

cộng vế với vế của 3 BDT nha bạn

nhớ làm đk dấu ''='' nữa

 

[nhat2701]

sai lớp

xin lỗi bạn, mình mới học lớp 8, chưa có học BĐT Couchy

 

[cry_with_me]

), bất đẳng thức cauchy học rồi bạn ạ

phiên âm tiếng việt là cô-si

bdt này rất quen thuộc với những bạn bắt đầu vào con đường CM BDT

 

[su10112000a]

$\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} = \dfrac{(ab)^2}{abc} + \dfrac{(bc)^2}{abc} + \dfrac{(ca)^2}{abc}$
$\rightarrow \dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} \ge \dfrac{a^2bc+ab^2c+abc^2}{abc}$
$\rightarrow \mathfrak{dpcm}$

 

[buitam2000]

Bài 1/ Cho $a,b,c > 0$

C/m: $\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} \ge a+b+c$

P/s : xin lỗi nhak, em ko biết đánh dấu, phần là phân số nhak

Bài làm :
$\dfrac{ab}{c} + \dfrac{ac}{b} = a.(\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b})$[TEX]\geq[/TEX] 2.a(1)
$\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} = c.(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a})$[TEX]\geq[/TEX] 2.c(2)
$\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} = b.(\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a})$[TEX]\geq[/TEX] 2.b(2)
Cộng (1), (2), (3) ta có:
$2.(\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b})$ [TEX]\geq[/TEX] 2.( a+b+c) [TEX]\Rightarrow[/TEX]$(\dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b})$ [TEX]\geq[/TEX] ( a+b+c)[TEX]\Rightarrow[/TEX](đpcm)

 

[huynhbachkhoa23]

$\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}=a(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}) \ge 2a$

Tương tự rồi cộng lại chia 2 ta có $\mathfrak{dpcm}$

 

[hiendang241]

Bài 1/ Cho a,b,c>0

C/m: $\dfrac{ab}{c}$+$\dfrac{bc}{a}$+$\dfrac{ca}{b}$≥a+b+c

ta có: $\dfrac{ab}{c}$+$\dfrac{bc}{a}$+$\dfrac{ca}{b}$\geq a+b+c

\Leftrightarrow $\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}$\geq $\dfrac{abc(a+b+c)}{abc}$

\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)

vì $(ab-bc)^2$\geq 0 nên $a^2$$b^2$+$b^2$$c^2$\geq 2a$b^2$c(1)

tương tự ta có $b^2$$c^2$+$c^2$$a^2$\geq 2ab$c^2$(2)

$a^2$$b^2$+$c^2$$a^2$\geq 2$a^2$bc(3)

1,2,3\Rightarrow đpcm