giả sư 2n+1=[TEX]m^2[/TEX]; 3n+1=[TEX]k^2[/TEX] (m,n nguyên dương)
m lẻ\Rightarrow2n=[TEX]m^2-1[/TEX]=(m-1)(m+1) chia hết cho 4\Rightarrown chẵn\Rightarrowk lẻ
Từ 3n+1=[TEX]k^2[/TEX]\Rightarrow3n=[TEX]k^2-1[/TEX]=(k-1)(k+1) chia hết cho 8 (do k+1 và k-1 là hai số chẵn liên tiếp), do đó n chia hết cho 8
một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0,1,4
nếu n=5p+1 thì 2n+1=10p+3 chia 5 dư 3, vô lí
nếu n=5p+2 thì 3n+1=15p+7 chia 5 dư 2, vô lí
nếu n=5p+3 thì 2n+1=10p+7 chia 5 dư 2, vô lí
nếu n=5p+4 thì 3n+1=15p+13 chia 5 dư 3, vô lí
nếu n=5p thì 3n+1=15p+1 chia 5 dư 1, tm
2n+1=10p+1 chia 5 dư 1,tm
vậy n chia hết cho 5
\Rightarrown chia hết cho 40