Cm chia hết

[conit_qb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CHO n nguyên dương, CM rằng nếu 2n+1 và 3n+1 là hai số chính phương thì n chia hết cho 40

 

[nhatok]

giả sư 2n+1=[TEX]m^2[/TEX]; 3n+1=[TEX]k^2[/TEX] (m,n nguyên dương)
m lẻ\Rightarrow2n=[TEX]m^2-1[/TEX]=(m-1)(m+1) chia hết cho 4\Rightarrown chẵn\Rightarrowk lẻ
Từ 3n+1=[TEX]k^2[/TEX]\Rightarrow3n=[TEX]k^2-1[/TEX]=(k-1)(k+1) chia hết cho 8 (do k+1 và k-1 là hai số chẵn liên tiếp), do đó n chia hết cho 8
một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0,1,4
nếu n=5p+1 thì 2n+1=10p+3 chia 5 dư 3, vô lí
nếu n=5p+2 thì 3n+1=15p+7 chia 5 dư 2, vô lí
nếu n=5p+3 thì 2n+1=10p+7 chia 5 dư 2, vô lí
nếu n=5p+4 thì 3n+1=15p+13 chia 5 dư 3, vô lí
nếu n=5p thì 3n+1=15p+1 chia 5 dư 1, tm
2n+1=10p+1 chia 5 dư 1,tm
vậy n chia hết cho 5
\Rightarrown chia hết cho 40

 

[mua_buon_97]

CHO n nguyên dương, CM rằng nếu 2n+1 và 3n+1 là hai số chính phương thì n chia hết cho 40

____________________
Do 2n+1 là số lẻ \Rightarrow n chẵn \Rightarrow 3n+1 lẻ
Hay [TEX]3n+1[/TEX] là số chính phương lẻ.
\Rightarrow [TEX] 3n+1[/TEX] chia 8 dư 1
\Rightarrow [TEX] 3n \vdots 8[/TEX]
\Rightarrow[TEX]n \vdots 8 (1)[/TEX]

[TEX]3n+1[/TEX] là số chính phương lẻ nên tận cùng là 1,5,9
\Rightarrow 3n tận cùng là 0,4,8
\Rightarrow n tận cùng là 0,8,6
nếu n tận cùng là 0 thì 2n+1 tận cùng là 1(t/m) \Rightarrow [TEX]n \vdots 5 (2)[/TEX]
nếu n tận cùng là 8 thì 2n+1 tận cùng là 7(loại)
nếu n tận cùng là 6 thì 2n+1 tận cùng là 3 (loại)

mà (5;8)=1

\Rightarrow [TEX] n \vdots 40[/TEX]