CM chia hết bằng quy nạp

[vickynghieu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/CM: [TEX](3^n+7^n-2)[/TEX] chia hết cho 8
2/CM: Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

 

[hainam108]

1/CM: [TEX](3^n+7^n-2)[/TEX] chia hết cho 8
2/CM: Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

1 MD đúng vói n=1
giả sủ MD đúng với n=k(k>= 1) thì 3^k+7^k-2 chia hết cho 8
cần cm MD đúng với n=k+1
thật vậy
[TEX]3^{k+1}+7^{k+1}-2[/TEX]=[TEX](3+7)(3^k+7^k-2)-7*3^k-3*7^k+20-2[/TEX]=[TEX]10*(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+7*7^k-14-3*7^k+18[/TEX]
=[TEX]10(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+4*7^k+4[/TEX]
=[TEX]10(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+4*(8-1)^k+4[/TEX]
=[TEX]3(3^k+7^k-2)+4*8D+(-1)^k*4+4[/TEX]( kÝ hiệu 8D chính là 1 bội của 8 v=> khi khai triển 4*(8-1)^k=4*(8D+(-1)^k)=4*8D+4*(-1)^k)
hiển nhiên chia hết cho 8
2
gọi 3 só liên tiếp là k,k+1,k+2
cm quy nạp đi nếu ko đc thì mình post lên cho
ngại viết lắm

 

[silvery93]

1 MD đúng vói n=1
giả sủ MD đúng với n=k(k>= 1) thì 3^k+7^k-2 chia hết cho 8
cần cm MD đúng với n=k+1
thật vậy
[TEX]3^{k+1}+7^{k+1}-2[/TEX]=[TEX](3+7)(3^k+7^k-2)-7*3^k-3*7^k+20-2[/TEX]=[TEX]10*(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+7*7^k-14-3*7^k+18[/TEX]
=[TEX]10(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+4*7^k+4[/TEX]
=[TEX]10(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+4*(8-1)^k+4[/TEX]
=[TEX]3(3^k+7^k-2)+4*8D+(-1)^k*4+4[/TEX]( kÝ hiệu 8D chính là 1 bội của 8 v=> khi khai triển 4*(8-1)^k=4*(8D+(-1)^k)=4*8D+4*(-1)^k)

bài giải nay` **************quá

 

[thuy11b10_mk]

1/CM: [TEX](3^n+7^n-2)[/TEX] chia hết cho 8(*)
2/CM: Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

Tớ có cách # bài 1 hơi dở hơi chút ,nhưng tớ thấy dễ hiểu vì không phải tách nhiều
Với n=1,có (*) đúng
GS(*) đúng với n=k, tức [tex]3^k+7+k-2[/tex]chia hết cho8
Cần CM(*) đúng với n=k+1, tức[tex]3^{k+1}+7^{k+1}-2[/tex]chia hết cho8(**)
có[tex]3^{k+1}+7^{k+1}-2[/tex]
=3.([tex]3^k+7^k-2)+4.7^k+4[/tex]chia hết cho8(**)
ta CM [tex]4.7^k+4[/tex] chia hết cho8(***)
với k=1,có(***) ,đúng
GS(***)đúng với k=m,tức[tex]4.7^m+4[/tex]chia hết cho8
Cần CM(***)đúng với k=m+1,tức[tex]4.7^{m+1}+4[/tex]chia hết cho8 (I)
có [tex]4.7^{m+1}+4=28.7^m+4=4.7^m+4+24.7^m[/tex]chia hết cho8
\Rightarrow(I)đúng\Rightarrow(***)đúng\Rightarrow(**) đúng\Rightarrow(*)đúng( đpcm)(chứng minh qui nạp 2 lần)

 

[thuy11b10_mk]

1 MD đúng vói n=1
giả sủ MD đúng với n=k(k>= 1) thì 3^k+7^k-2 chia hết cho 8
cần cm MD đúng với n=k+1
thật vậy
[TEX]3^{k+1}+7^{k+1}-2[/TEX]=[TEX](3+7)(3^k+7^k-2)-7*3^k-3*7^k+20-2[/TEX]=[TEX]10*(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+7*7^k-14-3*7^k+18[/TEX]
=[TEX]10(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+4*7^k+4[/TEX]
=[TEX]10(3^k+7^k-2)-7(3^k+7^k-2)+4*(8-1)^k+4[/TEX]
=[TEX]3(3^k+7^k-2)+4*8D+(-1)^k*4+4[/TEX]( kÝ hiệu 8D chính là 1 bội của 8 v=> khi khai triển 4*(8-1)^k=4*(8D+(-1)^k)=4*8D+4*(-1)^k)
hiển nhiên chia hết cho 8
2
gọi 3 só liên tiếp là k,k+1,k+2
cm quy nạp đi nếu ko đc thì mình post lên cho
ngại viết lắm

cám ơn ,cách giải của bạn cũng rất hay...........................................................