CM BĐT với , b, c >0

[nhocdangyeu789]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
[TEX]\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}\geq a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]
Bài 2:
[TEX]\frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6}{a^2b^2}\geq ab+bc+ca[/TEX]
Bài 3:
[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a}}+\frac{1}{\sqrt[]{b}}+\frac{2\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{c}}\geq\frac{8}{\sqrt[]{a+b+c}}[/TEX]
Bài 4:
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{8}{c^2}\geq\frac{64}{(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]

 

[vansang02121998]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2} \geq 2.\frac{a^2b^2}{c^2}$

$\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6}{a^2b^2} \geq 2.\frac{b^2c^2}{a^2}$

$\frac{c^6}{a^2b^2}+\frac{a^6}{b^2c^2} \geq 2.\frac{c^2a^2}{b^2}$

$\Rightarrow 2(\frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6}{a^2b^2}) \geq 2(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2})$

$\Leftrightarrow \frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6}{a^2b^2} \geq \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2} \geq 2a^2$

$\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{b^2c^2}{a^2} \geq 2c^2$

$\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2b^2}{c^2} \geq 2b^2$

$\Rightarrow 2(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}) \geq 2(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{b^2c^2}{a^2} \geq a^2+b^2+c^2$

Ta có $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 \forall a;b;c$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc) \geq 0$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+ac+bc)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$

$\Rightarrow \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{b^2c^2}{a^2} \geq ab+ac+bc$

$\Rightarrow \frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{c^2a^2}+\frac{c^6}{a^2b^2} \geq ab+ac+bc$

 

[bboy114crew]

Lớp 8 mà làm mấy bài này hả?
1)Theo AM-GM ta có:
$\frac{a^5}{b^2}+ab^2 \ge 2a^3$
Làm tương tự ròi cộng lại ta được:
$\sum \frac{a^5}{b^2} \ge 2\sum a^3-\sum ab^2$
Ta sẽ chứng minh:
$2\sum a^3 \ge \sum ab(a+b)$
Điều này hiển nhiên đúng do:
$a^3+b^3 \ge ab(a+b);c^3+b^3 \ge cb(c+b);a^3+c^3 \ge ac(a+c)$
3) Cho $a=b=c=1$ thì BĐT sai!

 

[nhocdangyeu789]

Lớp 8 mà làm mấy bài này hả?
1)Theo AM-GM ta có:
$\frac{a^5}{b^2}+ab^2 \ge 2a^3$
Làm tương tự ròi cộng lại ta được:
$\sum \frac{a^5}{b^2} \ge 2\sum a^3-\sum ab^2$
Ta sẽ chứng minh:
$2\sum a^3 \ge \sum ab(a+b)$
Điều này hiển nhiên đúng do:
$a^3+b^3 \ge ab(a+b);c^3+b^3 \ge cb(c+b);a^3+c^3 \ge ac(a+c)$
3) Cho $a=b=c=1$ thì BĐT sai!

em mới lớp 8 mà, ko thể hiểu được, anh có thể làm như vansang dc ko, thầy giáo cho ở phần cauchy mà

 

[vansang02121998]

$\sum$: Dấu này lên lớp 9 mới học ( mà hình như sgk k có )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\frac{a^5}{b^2}+ab^2 \geq 2a^3$

$\frac{b^5}{c^2}+bc^2 \geq 2b^3$

$\frac{c^5}{a^2}+ca^2 \geq 2c^3$

$\Rightarrow \frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}+ab^2+bc^2+ca^2 \geq 2(a^3+b^3+c^3)$

$\Leftrightarrow \frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \geq 2(a^3+b^3+c^3)-ab^2-bc^2-ca^2$

Ta có

$(a-b)^2(a+b) \geq 0 \forall a;b \geq 0$

$\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3 \geq 0$

$\Leftrightarrow a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2$

Chứng minh tương tự, ta có

$b^3+c^3 \geq b^2c+bc^2$

$c^3+a^3 \geq c^2a+ca^2)$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3) \geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3) - ab^2-bc^2-ca^2 \geq a^2b+b^2c+c^2a$

$\Rightarrow \frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \geq a^2b+b^2c+c^2a$

P/s: Bài 3 thay a=b=c=1 vào bất đẳng thức vẫn đúng, chỉ có bài 4 là sai thôi