[CM:BDT]Bất đẳng thức !Help ...help(Nhiều bài cho anh em thử sức......

[mylove92]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:
1/[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} >= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
2/[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} =< \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
3/[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} >= 2[/TEX]
4/[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} =< \frac{a+b+C}{2abc}[/TEX]
5/[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} =< \frac{1}{abc}[/TEX]
6/[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

 

[quang1234554321]

Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:
1/[TEX] \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} >= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

Áp dụng Cauchy-Schwarz :

[TEX] \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[quang1234554321]

2/[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} =< \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

[TEX]\sum \frac{ab}{a+ b} \leq \sum \frac{ab}{2\sqrt[]{ab}} = \frac{1}{2}\sum \sqrt[]{ab} \leq \frac{1}{4} [(a+b) + (b+c)+(c+a)] = \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

đpcm

 

[quang1234554321]

3/[TEX] \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} >= 2[/TEX]

Áp dụng BDT chebyshev :

[TEX] \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \geq \frac{1}{4} (a+b+c+d) ( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+d} + \frac{1}{d+a} ) [/TEX]

Hay [TEX]VT \geq \frac{1}{8}[ (a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)] ( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+d} + \frac{1}{d+a} ) \geq \frac{1}{8}.16 = 2[/TEX] ( cauchy - schwarz)

Vậy ta có đpcm

 

[quang1234554321]

4/ [TEX] \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} =< \frac{a+b+C}{2abc}[/TEX]

Ta có :

[TEX] \frac{abc}{a^2+bc}+\frac{abc}{b^2+ac}+\frac{abc}{c^2+ab} \leq \frac{abc}{2a\sqrt[]{bc}}+\frac{abc}{2b\sqrt[]{ca}}+\frac{abc}{2c\sqrt[]{ab}} = \frac{ \sqrt[]{ab} + \sqrt[]{bc} + \sqrt[]{ca}}{2} \leq a+b+c [/TEX]

Từ đó

[TEX] \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} \leq \frac{a+b+c}{2abc}[/TEX]

Vậy ta có đpcm

 

[quang1234554321]

5/[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} =< \frac{1}{abc}[/TEX]

bài trên giống bài dưới đây . Chỉ thay a,b,c bằng x , y, z

ctsp_a1

[TEX]x^3+y^3+1 \geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)[/TEX]

nên

[TEX]\sum \frac{1}{{x^3 + y^3 + 1}} \leq \sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\sum \frac{z}{x+y+z}= \frac{1}{xyz}[/TEX]

 

[quang1234554321]

Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:
1/[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} >= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
2/[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} =< \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
3/[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} >= 2[/TEX]
4/[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} =< \frac{a+b+C}{2abc}[/TEX]
5/[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} =< \frac{1}{abc}[/TEX]
6/[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

Đã giải quyết xong 5 bài .

Còn bài 6 bạn gõ nhầm đề rồi kìa

Thôi để cho người khác làm vậy . Cũng tương tự như mấy bài trên cả

 

[pmv]

bài 5 lời giải trục trặc
còn bài 3 BDT chebyshev ch­ưa cm nên ch­ua được s­­u ­d­ung

 

[quang1234554321]

bài 5 lời giải trục trặc
còn bài 3 BDT chebyshev ch­ưa cm nên ch­ua được s­­u ­d­ung

Bài này là tớ trích dẫn bài của ctsp_a1 . Bài đó tương tự thế .
Có vẻ khó nhìn thật

 

[vodichhocmai]

Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:

6/[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

Cách 1.
Đặt:
[TEX]\left{S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\\Y=\sum_{cyc}\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]
Ta có:
[TEX]S-Y=0\rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\sum_{cyc} \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{$a+b$$a^2-ab+b^2$}{a^2+ab+b^2} (1)[/TEX]
Ta sẽ chứng minh:
[TEX]\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-4ab\ge 0\Leftrightarrow 2$a-b$^2\ge 0 \ (2) \ \(dung)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\righ 2S\ge \sum_{cyc}\frac{a+b}{3}[/TEX]
[TEX]\righ S\ge\sum_{cyc}\frac{a}{3}\ \ (dpcm)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:

6/[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

Cách 2
[TEX]S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc} \[a-\frac{ab\(a+b\)}{a^2+ab+b^2}\](1) [/TEX]
Theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^2+ab+b^2\ge 3ab(2)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\righ S\ge \sum_{cyc} $$a-\frac{a+b}{3}$$=\sum_{cyc}\frac{a}{3} \ \(dpcm) [/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:
1/[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} >= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
2/[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} =< \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
3/[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} >= 2[/TEX]
4/[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} =< \frac{a+b+C}{2abc}[/TEX]
5/[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} =< \frac{1}{abc}[/TEX]
6/[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:
1/[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} >= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
2/[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} =< \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
3/[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} >= 2[/TEX]
4/[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} =< \frac{a+b+C}{2abc}[/TEX]
5/[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} =< \frac{1}{abc}[/TEX]
6/[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

[TEX]1)[/TEX]
Ta có theo [TEX]AM-GM[/TEX] :
[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge b[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c[/TEX]
_________ cộng vế theo vế ta được [TEX](dpcm)[/TEX]__

[TEX]2)[/TEX]
Ta luôn có bổ đề sau,
[TEX]\left{\frac{ab}{a+b}\le \frac{a+b}{4}\\a,b>0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow\left{$a-b$^2\ge 0\\a,b>0[/TEX]
Do đó :
[TEX]\left{\frac{ab}{a+b}\le \frac{a+b}{4}\\\frac{bc}{b+c}\le \frac{b+c}{4}\\\frac{ca}{c+a}\le \frac{c+a}{4}[/TEX]
_________ cộng vế theo vế ta được [TEX](dpcm)[/TEX]__
[TEX]3)[/TEX]
Nhận xét rằng bất đẳng thức đả cho là thuần nhất vì.
[TEX]f(ta;tb;tc;td)=t^0f(a;b;c;d)[/TEX]
Do đó ta chuẩn hoá bằng cách đặt [TEX]a+b+c+d=4[/TEX]
Ta có theo đề.
[TEX]T=\frac{a}{-a+(4-d)}+\frac{b}{-b+(4-a)}+\frac{c}{-c+(4-b)}+\frac{d}{-d+(4-c)}[/TEX]
Xét hàm số :
[TEX]y=\frac{x}{-x+(4-a)}[/TEX]
[TEX]y'=\frac{4-a}{$$-x+(4-a)$$^2}[/TEX]
[TEX]y''=\frac{2$4-a$$$-x+(4-a)$$}{$$-x+(4-a)$$^4}=\frac{2$4-a$\[4-\(x+a\)\]}{$$-x+(4-a)$$^4}\> 0[/TEX]
vậy hàm số đà cho là lỗm , theo [TEX]jensen[/TEX] ta có.
[TEX]f(a)+f(b)+f(c)+f(d)\ge 4f$\frac{a+b+c+d}{4}$=4f(1)=2(dpcm)[/TEX]
[TEX]4)[/TEX]
Theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^2+bc\ge 2a\sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]b^2+ca\ge 2b\sqrt{ca}[/TEX]
[TEX]c^2+ab\ge 2c\sqrt{ab}[/TEX]
_______________ cộng vế theo vế ta được___.
[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}} (1)[/TEX]
Ta lại có :
[TEX]a+b+c\ge $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$[/TEX]
[TEX]\righ \frac{a+b+c}{2abc}\ge \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}(2) [/TEX]
Từ [TEX](1)&(2)\righ (dpcm)[/TEX]
[TEX]5)[/TEX]
Quy đồng mẫu số và nhân hai vế cho 2 ta được .

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym} (a^3+b^3+abc)(b^3+c^3+abc)abc\le 2(a^3+b^3+abc)(b^3+c^3+abc)(c^3+a^3+abc)[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym} a^7bc+3a^4b^4c+4a^5b^2c^2+a^3b^3c^3\le\sum_{sym}a^3b^3c^3+2a^6b^3+3a^4b^4c+2a^5b^2c^2+a^7bc[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym}2a^6b^3c^0\ge\sum_{sym}2a^5b^2c^2 [/TEX]
luôn luôn đúng theo định lý nhóm vì cặp [TEX]$6;3;0$[/TEX] trội hơn cặp [TEX]$5;2;2$[/TEX]
[TEX]6)[/TEX]
[TEX]\left{S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\\Y=\sum_{cyc}\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]
Ta có:
[TEX]S-Y=0\rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\sum_{cyc} \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{$a+b$$a^2-ab+b^2$}{a^2+ab+b^2} (1)[/TEX]
Ta sẽ chứng minh:
[TEX]\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-4ab\ge 0\Leftrightarrow 2$a-b$^2\ge 0 \ (2) \ \(dung)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\righ 2S\ge \sum_{cyc}\frac{a+b}{3}[/TEX]
[TEX]\righ S\ge\sum_{cyc}\frac{a}{3}\ \ (dpcm)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Áp dụng BDT chebyshev :

[TEX] \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \geq \frac{1}{4} (a+b+c+d) ( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+d} + \frac{1}{d+a} ) [/TEX]

Hay [TEX]VT \geq \frac{1}{8}[ (a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)] ( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+d} + \frac{1}{d+a} ) \geq \frac{1}{8}.16 = 2[/TEX] ( cauchy - schwarz)

Vậy ta có đpcm

Riêng bài nầy sử dụng [TEX]Chebyshev[/TEX] là không được rồi em à.
VD bài nầy thì được
[TEX]Cho \ \ a,b,c,d>0\ \ CMR:\ \ \sum_{cyc}\frac{a}{c+d}\ge 2[/TEX]

 

[oack]

[TEX]1)[/TEX]


[TEX]4)[/TEX]
Theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^2+bc\ge 2a\sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]b^2+ca\ge 2b\sqrt{ca}[/TEX]
[TEX]c^2+ab\ge 2c\sqrt{ab}[/TEX]
_______________ cộng vế theo vế ta được___.
[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}} (1)[/TEX]
Ta lại có :
[TEX]a+b+c\ge 2$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$[/TEX]
[TEX]\righ \frac{a+b+c}{2abc}\ge \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}(2) [/TEX]
Từ [TEX](1)&(2)\righ (dpcm)[/TEX]
[TEX]5)[/TEX]
Quy đồng mẫu số và nhân hai vế cho 2 ta được .

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym} (a^3+b^3+abc)(b^3+c^3+abc)abc\le 2(a^3+b^3+abc)(b^3+c^3+abc)(c^3+a^3+abc)[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym} a^7bc+3a^4b^4c+4a^5b^2c^2+a^3b^3c^3\le\sum_{sym}a^3b^3c^3+2a^6b^3+3a^4b^4c+2a^5b^2c^2+a^7bc[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym}2a^6b^3c^0\ge\sum_{sym}2a^5b^2c^2 [/TEX]
luôn luôn đúng theo định lý nhóm vì cặp [TEX]$6;3;0$[/TEX] trội hơn cặp [TEX]$5;2;2$[/TEX]
[TEX]6)[/TEX]
[TEX]\left{S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\\Y=\sum_{cyc}\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]
Ta có:
[TEX]S-Y=0\rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\sum_{cyc} \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{$a+b$$a^2-ab+b^2$}{a^2+ab+b^2} (1)[/TEX]
Ta sẽ chứng minh:
[TEX]\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-4ab\ge 0\Leftrightarrow 2$a-b$^2\ge 0 \ (2) \ \(dung)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\righ 2S\ge \sum_{cyc}\frac{a+b}{3}[/TEX]
[TEX]\righ S\ge \sum_{cyc}\frac{a}{3}\ \ (dpcm)[/TEX]

e có ý kiến về bài 4 của thầy thì phải
chỗ này :

[TEX]a+b+c\ge 2$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$[/TEX]
[TEX]\righ \frac{a+b+c}{2abc}\ge \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}(2) [/TEX]

có lẽ thầy nhầm vì cái này ko có thì phải thầy ạ
[TEX]a+b+c\ge 2$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$[/TEX]
phải vầy chứ thầy
[TEX]2.(a+b+c)\ge 2$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$[/TEX]
giả sử biểu thức đó thầy đúng thì thầy lại sai mất chỗ này
[TEX]\righ \frac{a+b+c}{2abc}\ge \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}(2) [/TEX]
2 vế thầy chia cho 2abc thế thì vế trái nó phải [TEX]= \frac{1}{a\sqrt{bc}} +\frac{1}{b\sqrt{ca}}+\frac{1}{c\sqrt{ab}}(2)[/TEX]
vậy thì làm sao ra đc đpcm
mấy bài sau thực sự là e ko hiểu e ko hiểu mấy cái này

[TEX]\sum_{cyc}[/TEX]

thầy có cách làm nào khác ko e nghĩ lớp 10 cũng chưa hiểu đc đâu ạ
----------------------------------------------------------------------------------------
thầy post 1 lúc mà nhiều thật ^^ phục

 

[vodichhocmai]

Ngoài các phương pháp giới thiệu trên ta còn sử dụng phương pháp khai triển trức tiếp , dùng tương đương, và dùng định lý nhóm các số hạng . Phương pháp nầy không thật thông minh , nhưng đôi khi vẫn tỏ ra khá hiệu quả .Khi sử dụng phương pháp nầy ta dùng các kí hiệu quy ước quốc tế , để đơn giản cách viết :
[TEX]1)(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)...(1+a_n)=\prod_{i=1}^{n}\(1+a_i)[/TEX]
[TEX]2)[/TEX] hoán vị vòng.
[TEX]VD\ \ \sum_{cyclic}^{abc} (a+b)=(a+b)+(b+c)+(c+a)[/TEX]

[TEX]\sum_{sym} F(x_1,x_2...x_n)=\sum_{\sigma} F(x_{\sigma_1},x_{\sigma_2},x_{\sigma_n})[/TEX]. Trong đó [TEX]\sigma[/TEX] trải qua hoán vị của [TEX]\{1,2,...n\}[/TEX]

VD. [TEX]\sum_{sym} a^2=2a^2+2b^2+2c^2[/TEX]