Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:
1/[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} >= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
2/[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} =< \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
3/[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} >= 2[/TEX]
4/[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} =< \frac{a+b+C}{2abc}[/TEX]
5/[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} =< \frac{1}{abc}[/TEX]
6/[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{a+b+c}{3}[/TEX]
Cho:a,b,c,d>0.Chứng minh rằng:
1/[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} >= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
2/[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} =< \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
3/[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} >= 2[/TEX]
4/[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} =< \frac{a+b+C}{2abc}[/TEX]
5/[TEX]\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} =< \frac{1}{abc}[/TEX]
6/[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{a+b+c}{3}[/TEX]
[TEX]1)[/TEX]
Ta có theo [TEX]AM-GM[/TEX] :
[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge b[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c[/TEX]
_________ cộng vế theo vế ta được [TEX](dpcm)[/TEX]__
[TEX]2)[/TEX]
Ta luôn có bổ đề sau,
[TEX]\left{\frac{ab}{a+b}\le \frac{a+b}{4}\\a,b>0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow\left{\(a-b\)^2\ge 0\\a,b>0[/TEX]
Do đó :
[TEX]\left{\frac{ab}{a+b}\le \frac{a+b}{4}\\\frac{bc}{b+c}\le \frac{b+c}{4}\\\frac{ca}{c+a}\le \frac{c+a}{4}[/TEX]
_________ cộng vế theo vế ta được [TEX](dpcm)[/TEX]__
[TEX]3)[/TEX]
Nhận xét rằng bất đẳng thức đả cho là thuần nhất vì.
[TEX]f(ta;tb;tc;td)=t^0f(a;b;c;d)[/TEX]
Do đó ta chuẩn hoá bằng cách đặt [TEX]a+b+c+d=4[/TEX]
Ta có theo đề.
[TEX]T=\frac{a}{-a+(4-d)}+\frac{b}{-b+(4-a)}+\frac{c}{-c+(4-b)}+\frac{d}{-d+(4-c)}[/TEX]
Xét hàm số :
[TEX]y=\frac{x}{-x+(4-a)}[/TEX]
[TEX]y'=\frac{4-a}{\[-x+(4-a)\]^2}[/TEX]
[TEX]y''=\frac{2\(4-a\)\[-x+(4-a)\]}{\[-x+(4-a)\]^4}=\frac{2\(4-a\)\[4-\(x+a\)\]}{\[-x+(4-a)\]^4}\> 0[/TEX]
vậy hàm số đà cho là lỗm , theo [TEX]jensen[/TEX] ta có.
[TEX]f(a)+f(b)+f(c)+f(d)\ge 4f\(\frac{a+b+c+d}{4}\)=4f(1)=2(dpcm)[/TEX]
[TEX]4)[/TEX]
Theo [TEX]AM-GM[/TEX] ta có .
[TEX]a^2+bc\ge 2a\sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]b^2+ca\ge 2b\sqrt{ca}[/TEX]
[TEX]c^2+ab\ge 2c\sqrt{ab}[/TEX]
_______________ cộng vế theo vế ta được___.
[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}} (1)[/TEX]
Ta lại có :
[TEX]a+b+c\ge \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)[/TEX]
[TEX]\righ \frac{a+b+c}{2abc}\ge \frac{1}{2a\sqrt{bc}} +\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}(2) [/TEX]
Từ [TEX](1)&(2)\righ (dpcm)[/TEX]
[TEX]5)[/TEX]
Quy đồng mẫu số và nhân hai vế cho 2 ta được .
[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym} (a^3+b^3+abc)(b^3+c^3+abc)abc\le 2(a^3+b^3+abc)(b^3+c^3+abc)(c^3+a^3+abc)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym} a^7bc+3a^4b^4c+4a^5b^2c^2+a^3b^3c^3\le\sum_{sym}a^3b^3c^3+2a^6b^3+3a^4b^4c+2a^5b^2c^2+a^7bc[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow\sum_{sym}2a^6b^3c^0\ge\sum_{sym}2a^5b^2c^2 [/TEX]
luôn luôn đúng theo định lý nhóm vì cặp [TEX]\(6;3;0\)[/TEX] trội hơn cặp [TEX]\(5;2;2\)[/TEX]
[TEX]6)[/TEX]
[TEX]\left{S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\\Y=\sum_{cyc}\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]
Ta có:
[TEX]S-Y=0\rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\sum_{cyc} \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2S=\sum_{cyc}\frac{\(a+b\)\(a^2-ab+b^2\)}{a^2+ab+b^2} (1)[/TEX]
Ta sẽ chứng minh:
[TEX]\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-4ab\ge 0\Leftrightarrow 2\(a-b\)^2\ge 0 \ (2) \ \(dung)[/TEX]
[TEX](1)&(2)\righ 2S\ge \sum_{cyc}\frac{a+b}{3}[/TEX]
[TEX]\righ S\ge\sum_{cyc}\frac{a}{3}\ \ (dpcm)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
