CM: Bất đẳng thức

D

dandoh221

251295 said:


- Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]

- CMR:

[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq 3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX](\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^2 = \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2} + 2(a^2 + b^2 + c^2)[/TEX]
mà [TEX]\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2} \geq a^2 + b^2 + c^2 [/TEX]nên
[TEX](\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^2 \geq 9 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 => [/TEX] đpcm
 
Last edited by a moderator:
2

251295

- Cảm ơn bạn nhìu nhé.

- Nhưng theo mình, cách trình bày của bạn còn chưa ổn.


- Mình làm lại nhé.

- Ta có:

[TEX](\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^2[/TEX]

[TEX]=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+2(\frac{ab^2c}{ac}+\frac{bc^2a}{ab}+\frac{ca^2b}{bc})[/TEX]

[TEX]=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+2(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

- Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

[TEX]\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2} \geq2\sqrt{\frac{a^2b^2}{c^2}.\frac{b^2c^2}{a^2}}=2b^2(1)[/TEX]

- Tương tự, ta có:

[TEX]\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2} \geq2c^2(2)[/TEX]

[TEX]\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{c^2a^2}{b^2} \geq2a^2(3)[/TEX]

- Cộng từng vế của (1)(2)(3) được:

[TEX]2(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}) \geq 2(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2} \geq a^2+b^2+c^2=3[/TEX]

- Mặt khác, ta có: [TEX]a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)=6[/TEX]

- Vậy, ta có:


[TEX](\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^2 =\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+2(a^2+b^2+c^2) \geq 3+6=9 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq 3 (dpcm)[/TEX]

- Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

- Còn ai có cách nào khác nữa không, cách này hơi dài tý :D
 
Last edited by a moderator:
F

forever_lucky07

-Với mọi x, y, z dương ta đều có BĐT sau:
[TEX]\left( {x + y + z} \right)^2 \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right)\[/TEX]
Dấu = xả ra khi x = y = z

- Áp dụng với [TEX]x = \frac{{ab}}{c};y = \frac{{bc}}{a};z = \frac{{ca}}{b}\[/TEX] ta được:
[TEX]\left( {\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b}} \right)^2 \ge 3\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)\[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} \ge 3\[/TEX] (đpcm)
 
X

xuyenlazycat

mình có cách khác như sau (thông cảm mình ko đánh đc ct toán)
ab\c+c\ab>(h)=2

bc\a+a\bc >(h)=2

ca\b+b\ca>(h)=2

cộng lại ab\c+bc\a +ac\b+c\ab+b\ac+a\bc>(h)=6
mà c\ab+b\ac+a\bc=(a^2+b^2+c^2)\abc=3\abc
do abc<(h)=1nên 3\abc>(h)=3
suy ra đpcm
 
2

251295

forever_lucky07 said:
-Với mọi x, y, z dương ta đều có BĐT sau:
 [TEX]\left( {x + y + z} \right)^2 \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right)\[/TEX]
 Dấu = xả ra khi x = y = z
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...



- BĐT này dùng được cho tất cả các số x, y, z.

- Không bắt buộc x, y, z dương đâu.

- Vì:

[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] (Tự CM)

[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \geq xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \geq 3xy+3yz+3zx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)(dpcm)[/TEX]


 
N

nguyenminh44

forever_lucky07 said:
-Với mọi x, y, z dương ta đều có BĐT sau:
[TEX]\left( {x + y + z} \right)^2 \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right)\[/TEX]
Dấu = xả ra khi x = y = z
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Không cần thiết x,y,z phải dương mới có điều đó !
Chúng ta có bất đẳng thức này [TEX]\forall[/TEX] x,y,z !

---

Haizzz, trùng với bài trên rồi. Viết thêm vài dòng vậy :

Riêng với bài này thì lại cần điều kiện biến dương vì :

Từ [tex]VT ^2 \geq 9[/tex] muốn suy ra đpcm thì VT >0 và do đó a,b,c >0
 
Last edited by a moderator:
2

251295

xuyenlazycat said:
mình có cách khác như sau (thông cảm mình ko đánh đc ct toán)
ab\c+c\ab>(h)=2

bc\a+a\bc >(h)=2

ca\b+b\ca>(h)=2

cộng lại ab\c+bc\a +ac\b+c\ab+b\ac+a\bc>(h)=6
mà c\ab+b\ac+a\bc=(a^2+b^2+c^2)\abc=3\abc
do abc<(h)=1nên 3\abc>(h)=3
suy ra đpcm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


- Viết lại xem cách này như thế nào hem.

- Ta có:

[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{c}{ab} \geq 2[/TEX]

[TEX]\frac{bc}{a}+\frac{a}{bc} \geq 2[/TEX]

[TEX]\frac{ca}{b}+\frac{b}{ca} \geq 2[/TEX]

- Cộng từng vế được:

[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca} \geq 6[/TEX]

- Mà [TEX]\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}+\frac{a}{bc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{3}{abc}[/TEX]

- Do [TEX]abc \leq 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{3}{abc} \geq 3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}+\frac{a}{bc} \geq 3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 6-(\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}) \geq 3 (dpcm)[/TEX]

- Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1





 
Last edited by a moderator:
2

251295

nguyenminh44 said:
Không cần thiết x,y,z phải dương mới có điều đó !
Chúng ta có bất đẳng thức này [TEX]\forall[/TEX] x,y,z !

---

Haizzz, trùng với bài trên rồi. Viết thêm vài dòng vậy :

Riêng với bài này thì lại cần điều kiện biến dương vì :

Từ [tex]VT ^2 \geq 9[/tex] muốn suy ra đpcm thì VT >0 và do đó a,b,c >0
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


- Ừm!!!

- Đúng thế thật vì bài này phải khai phương.


 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom