CM: Bất đẳng thức

[tuananh8]

minh có đề típ nè!
1.cho a,b,c lớn hơn 0 và a+b+c =1. CMR:
[TEX]\frac {1}{a^2+2bc}[/TEX] + [TEX]\frac {1}{b^2+2ac}[/TEX] +[TEX]\frac {1}{c^2+2ba}[/TEX] \geq 9 (cực dễ)
BYE! mai gặp lai nha 251295

Vậy thì dễ thật.

Áp dụng BĐT [TEX](\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z) \geq 9[/TEX] (cm chỉ cần nhân tung ra)

Ta có: [TEX](\frac {1}{a^2+2bc}+\frac {1}{b^2+2ac}+\frac {1}{c^2+2ba})(a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ba) \geq \; 9[/TEX]

hay [TEX](\frac {1}{a^2+2bc}+\frac {1}{b^2+2ac}+\frac {1}{c^2+2ba})(a+b+c)^2 \geq \; 9[/TEX]

[TEX](\frac {1}{a^2+2bc}+\frac {1}{b^2+2ac}+\frac {1}{c^2+2ba}).1 \geq \; 9[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac {1}{a^2+2bc}+\frac {1}{b^2+2ac}+\frac {1}{c^2+2ba} \geq 9[/TEX] đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[hunterking]

uhm` đúng rồi đó !còn 1 bài nũa kìa !bạn làm đi!! bài ở trang 2 đó ! làm đi bạn!

 

[hunterking]

thế chẳng ai giải bài này ah`!đơn giản thui ! các bạn làm đi!!!

 

[chihieu112]

lúc đầu tưởng dễ,làm cách này hi vọng mọi người hiểu
Đặt [TEX]a+b+c=p;ab+ac+bc=q;abc=r=1[/TEX]thì [TEX]p=a+b+c\geq \sqrt[3]{abc}=3[/TEX](Côsi 3 số)
và [TEX]q^2=(ab+ac+bc)^2\geq3abc(a+b+c)\geq3*3=9 \Rightarrow q\geq3[/TEX](ở đoạn đầu là dùng bổ đề [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc[/TEX]
Khi đó ta có:[TEX]\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=\frac{ \sum a(b+2)(c+2)}{(a+2)(b+2)(c+2)}=\frac{3abc+4(a+b+c)+4(ab+ac+bc)}{abc+2(ab+ac+bc)+4(a+b+c)+8} = \frac{4p+4q+3}{4p+2q+9}[/TEX]
Vậy ta cần chứng minh:[TEX]\frac{4p+4q+3}{4p+2q+9} \geq 1 \Leftrightarrow 4p+4q+3 \geq 4p+2q+9 \Leftrightarrow 2q\geq6 \Leftrightarrow q\geq3[/TEX](Chứng minh trên)
Vậy đpcm.Dấu "=" khi và chỉ khi a=b=c=1.

PS:ĐỊnh là cách ngắn cơ nhưng ko được,với lại thiếu thời gian nên phang luôn p,q,r vào,chắc chắn là đúng ko cần phải nghĩ.

Bạn nào ko biết phương pháp đổi biến p,q,r(Tra trên google có ngay)thì nên học cho biết,đấy là 1 trong những phương pháp rất hay,có thể ko thẩm mỹ nhưng chắc chắn đúng và làm được bài(đầu tiên người ta cần làm được đã,sau đó thì thẩm mỹ tính sau phải ko?)

 

[royala1]

thêm 1 câu nữa nè!!
cho a,b,c lớn hơn 0 ,abc=1
CMR:
[TEX]\frac{a}{2+a}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{2+b}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{2+c}[/TEX] \geq 1

Bon chen tý.
Làm lun bài này nè
[TEX]\frac{a}{2+a} = \frac{a}{2 + \frac{1}{bc}} = \frac{abc}{2bc + 1} = \frac{1}{2bc +1}[/TEX]
CM tương tự => [TEX]\frac{1}{2bc + 1} + \frac{1}{2ac + 1} + \frac{1}{2ab + 1}[/TEX]
Ta có : [TEX]( x+ y+ z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9[/TEX]
=> [TEX]( 2ab + 2bc + 2ac + 3)(\frac{1}{2bc + 1} + \frac{1}{2ac + 1} \frac{1}{2ab + 1}) \geq9[/TEX]

Ta có : [TEX]2ab + 2 bc+ 2 ac = \frac{2}{c} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b}[/TEX]
Áp dụng bdt co si => [TEX]\frac{2}{c} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} \geq6[/TEX]
Vậy [TEX]\frac{2}{c} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} +3 \geq9[/TEX]
=> [TEX]\frac{1}{2bc + 1} + \frac{1}{2ac + 1} + \frac{1}{2ab + 1} \geq 1[/TEX]
=> [TEX]\frac{a}{2+a}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{2+b}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{2+c}[/TEX] \geq 1
Đúng thì thanks nhá

 

[ctsp_a1k40sp]

Bon chen tý.
Làm lun bài này nè
[TEX]\frac{a}{2+a} = \frac{a}{2 + \frac{1}{bc}} = \frac{abc}{2bc + 1} = \frac{1}{2bc +1}[/TEX]
CM tương tự => [TEX]\frac{1}{2bc + 1} + \frac{1}{2ac + 1} + \frac{1}{2ab + 1}[/TEX]
Ta có : [TEX]( x+ y+ z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9[/TEX]
=> [TEX]( 2ab + 2bc + 2ac + 3)(\frac{1}{2bc + 1} + \frac{1}{2ac + 1} \frac{1}{2ab + 1}) \geq9[/TEX]

Ta có : [TEX]2ab + 2 bc+ 2 ac = \frac{2}{c} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b}[/TEX]
Áp dụng bdt co si => [TEX]\frac{2}{c} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} \geq6[/TEX]
Vậy [TEX]\frac{2}{c} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} +3 \geq9[/TEX]
=> [TEX]\frac{1}{2bc + 1} + \frac{1}{2ac + 1} + \frac{1}{2ab + 1} \geq 1[/TEX]
=> [TEX]\frac{a}{2+a}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{2+b}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{2+c}[/TEX] \geq 1
Đúng thì thanks nhá

Ngược dấu rồi bé à Tự kiểm tra lại xem sai chỗ nào nhé

Bài này thì làm đơn giản thế này.


BDT

\Leftrightarrow [tex]\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \leq 1[/tex]

\Leftrightarrow [tex]\sum (b+2)(c+2) \leq (a+2)(b+2)(c+2)[/tex]

\Leftrightarrow [tex](ab+bc+ac)+4(a+b+c)+12 \leq abc+8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)[/tex]

\Leftrightarrow [tex]3 \leq ab+bc+ca[/tex]

Hiển nhiên đúng do:

[tex]ab+bc+ca \geq 3.\sqrt[3]{abc}=3[/tex]

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra tại [tex]a=b=c=1[/tex]

 

[hunterking]

không ai giải vừa lòng mình cả !!! các bạn giải lại đi! bài này đơn giản thui!!!!hihihi!
thực ra tui cũng chưa làm được!!!!!

 

[tkthuydung2]

Mình cũng có 2 bài muốn nhờ các bạn giải giúp đây: (Sử dụng phương pháp đổi vai trò)
Bài 1: Cho a,b,c dương, CMR [TEX]\frac{a}{b + c + d}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{c + d + a}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{d + a + b}[/TEX] + [TEX]\frac{d}{a + b + c}[/TEX] \geq [TEX]\frac{4}{3[/TEX]
Bài 2: Cho 0 \leq a,b,c \leq 2 và a + b + c = 3.CMR : [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^2[/TEX] + [TEX]c^2[/TEX] \leq 5

 

[hunterking]

thế sao chẳng có ai giải tiếp ah`!!!????các bạn bị sao vậy!! giải tiếp đi các bạn!!1

 

[tuananh8]

thêm 1 câu nữa nè!!
cho a,b,c lớn hơn 0 ,abc=1
CMR:
[TEX]\frac{a}{2+a}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{2+b}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{2+c}[/TEX] \geq 1

Vì [TEX]\huge abc=1[/TEX] nên tồn tại các số [TEX]\huge x,y,z[/TEX] sao cho [TEX]\huge a=\frac{x}{y} \; ; b=\frac{y}{z} \; ; c=\frac{z}{x}[/TEX]

BĐt cần chứng minh tương đương với [TEX]\huge \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}+2}+ \frac{\frac{y}{z}}{\frac{y}{z}+2}+\frac{\frac{z}{x}}{\frac{z}{x}+2} \geq \; 1[/TEX]

Mặt khác từ BĐT bunhiakopski

[TEX]\huge (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2) \geq \; (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2[/TEX] ta suy ra

hệ quả:

[TEX]\huge \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+....+\frac{a_n^2}{b_n} \geq \; \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}[/TEX]

[TEX]\huge \Rightarrow \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}+2}+ \frac{\frac{y}{z}}{\frac{y}{z}+2}+\frac{\frac{z}{x}}{\frac{z}{x}+2}= \; \frac{x}{2y+x}+\frac{y}{2z+y}+\frac{z}{2x+z}=\frac{x^2}{x(2y+x)}+\frac{y^2}{y(2z+y)}+\frac{z^2}{z(2x+z)}[/TEX]

[TEX]\huge \geq \frac{(x+y+z)^2}{x(2y+x)+y(2z+y)+z(2x+z)}=1[/TEX] đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]\huge a=b=c=1[/TEX]

 

[251295]

Bài 2: Cho 0 \leq a,b,c \leq 2 và a + b + c = 3.CMR : [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^2[/TEX] + [TEX]c^2[/TEX] \leq 5

- Giải:

- Từ [TEX]0 \leq a,b,c\leq2[/TEX] ta có:

[TEX]a\geq0[/TEX] và [TEX]a-2\leq0 \Rightarrow a(a-2)\leq0 \Rightarrow a^2-2a\leq0 \Rightarrow a^2\leq2a[/TEX]

[TEX]b\geq0[/TEX] và [TEX]b-2\leq0 \Rightarrow b(b-2)\leq0 \Rightarrow b^2-2b\leq0 \Rightarrow b^2\leq2b[/TEX]

[TEX]c\geq0[/TEX] và [TEX]c-2\leq0 \Rightarrow c(c-2)\leq0 \Rightarrow c^2-2c\leq0 \Rightarrow c^2\leq2c[/TEX]

- Cộng từng vế, ta được: [TEX]a^2+b^2+c^2\leq2a+2b+2c=2(a+b+c)=2.3=6[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \leq 6[/TEX]

- NX: Vậy đề bài bạn chép sai rồi tkthuydung2 ơi.

 

[251295]

Mình cũng có 2 bài muốn nhờ các bạn giải giúp đây: (Sử dụng phương pháp đổi vai trò)
Bài 1: Cho a,b,c dương, CMR [TEX]A=\frac{a}{b + c + d}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{c + d + a}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{d + a + b}[/TEX] + [TEX]\frac{d}{a + b + c}[/TEX] \geq 4/3

- Giải:

- Đặt b+c+d=x; c+d+a=y; d+a+b=z; a+b+c=t;

[TEX]\Rightarrow a+b+c+d=\frac{x+y+z+t}{3}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a=\frac{y+z+t-2x}{3};b=\frac{x+z+t-2y}{3};c=\frac{x+y+t-2z}{3};d=\frac{x+y+z-2t}{3}[/TEX]

- Vậy VT của đề bài tương ứng với:

[TEX]A=\frac{\frac{y+z+t-2x}{3}}{x}+\frac{\frac{x+z+t-2y}{3}}{y}+\frac{\frac{x+y+t-2z}{3}}{z}+\frac{\frac{x+y+z-2t}{3}}{t}[/TEX]

[TEX]=\frac{y+z+t-2x}{3x}+\frac{x+z+t-2y}{3y}+\frac{x+y+t-2z}{3z}+\frac{x+y+z-2t}{3t}[/TEX]

[TEX]=\frac{y}{3x}+\frac{z}{3x}+\frac{t}{3x}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3y}+\frac{z}{3y}+\frac{t}{3y}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3z}+\frac{y}{3z}+\frac{t}{3z}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3t}+\frac{y}{3t}+\frac{z}{3t}-\frac{2}{3}[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{3}(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+ \frac {t}{x}+ \frac {x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{t}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{t}{z}+\frac{x}{t}+\frac{y}{t}+\frac{z}{t})-\frac{8}{3}[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{3}[(\frac{y}{x}+\frac {x}{y})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})+( \frac {t}{x}+\frac{x}{t}) +(\frac{z}{y}+\frac{y}{z})+(\frac{t}{y}+\frac{y}{t})+(\frac{t}{z}+\frac{z}{t})]-\frac{8}{3}[/TEX]


- Áp dụng BĐT: [TEX]\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\geq2[/TEX] với m,n>0. Ta có:

[TEX]A\geq\frac{1}{3}(2+2+2+2+2+2)-\frac{8}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A \geq \frac{1}{3}.12-\frac{8}{3}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A \geq \frac{4}{3}[/TEX] (đpcm).

- Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=d.

 

[ctsp_a1k40sp]

không ai giải vừa lòng mình cả !!! các bạn giải lại đi! bài này đơn giản thui!!!!hihihi!
thực ra tui cũng chưa làm được!!!!!

Anh hơi bực mình rồi đó :| Giải như thế nào là vừa lòng em ? Bài này đơn giản mà sao em vẫn chưa làm được , lại còn hihi cái gì :|

Mình cũng có 2 bài muốn nhờ các bạn giải giúp đây: (Sử dụng phương pháp đổi vai trò)
Bài 1: Cho a,b,c dương, CMR [TEX]\frac{a}{b + c + d}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{c + d + a}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{d + a + b}[/TEX] + [TEX]\frac{d}{a + b + c}[/TEX] \geq [TEX]\frac{4}{3[/TEX]
Bài 2: Cho 0 \leq a,b,c \leq 2 và a + b + c = 3.CMR : [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^2[/TEX] + [TEX]c^2[/TEX] \leq 5

Bài 1
[tex]\sum \frac{a}{b+c+d}=\sum \frac{a^2}{ab+ac+ad} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2(ab+bc+cd+da+ac+bd)} \geq \frac{4}{3}[/tex]
Bài 2
Giả sử a là số lớn nhất
[tex]1 \leq a \leq 2[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2 \leq a^2+(b+c)^2 =a^2+(3-a)^2 =2a^2-6a+9=S[/tex]
Xét [tex]S-5=2(a^2-3a+2)=2(a-1)(a-2) \leq 0[/tex]
Vậy [tex]S \leq 5[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [tex]a=2,b=0,c=1[/tex] và các hoán vị

thế sao chẳng có ai giải tiếp ah`!!!????các bạn bị sao vậy!! giải tiếp đi các bạn!!1

Nhìn lại thái độ của mình đi , chỉ có em có vấn đề thôi , lại còn hỏi các bạn bị sao vậy, nản .....

- Giải:

- Từ [TEX]0 \leq a,b,c\leq2[/TEX] ta có:

[TEX]a\geq0[/TEX] và [TEX]a-2\leq0 \Rightarrow a(a-2)\leq0 \Rightarrow a^2-2a\leq0 \Rightarrow a^2\leq2a[/TEX]

[TEX]b\geq0[/TEX] và [TEX]b-2\leq0 \Rightarrow b(b-2)\leq0 \Rightarrow b^2-2b\leq0 \Rightarrow b^2\leq2b[/TEX]

[TEX]c\geq0[/TEX] và [TEX]c-2\leq0 \Rightarrow c(c-2)\leq0 \Rightarrow c^2-2c\leq0 \Rightarrow c^2\leq2c[/TEX]

- Cộng từng vế, ta được: [TEX]a^2+b^2+c^2\leq2a+2b+2c=2(a+b+c)=2.3=6[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \leq 6[/TEX]

- NX: Vậy đề bài bạn chép sai rồi tkthuydung2 ơi.

Đề bài chép đúng, cách giải sai rồi, dấu = theo cách làm của em xảy ra khi nào vậy?
Tự sửa lại nhé

 

[251295]

- Anh ctsp_a1k40sp ơi.

- Cái ký hiệu: [TEX]\sum[/TEX]này có ý nghĩa gì vậy, cách vận dụng với ký hiệu trên như thế nào?

- Trả lời giùm em nha.

 

[ctsp_a1k40sp]

- Anh ctsp_a1k40sp ơi.

- Cái ký hiệu: [TEX]\sum[/TEX]này có ý nghĩa gì vậy, cách vận dụng với ký hiệu trên như thế nào?

- Trả lời giùm em nha.

Có lẽ em mới học BDT nên chưa quen lắm với kí hiệu đó. Nó được gọi theo phiên âm tiếng việt là tổng xích-ma or tổng zich-ma. Còn tiếng anh là gì thì anh quên rồi.
Đơn thuần xích-ma chỉ là kí hiệu giúp người làm toán có thể viết những công thức tuềnh toàng gọn hơn
Ví dụ
[TEX]\sum \frac{a}{b+c+d}=\frac{a}{b+c+d}+ \frac{b}{a+c+d}+ \frac{c}{b+a+d}+\frac{d}{b+c+a}[/TEX]

 

[251295]

Bài 1
[tex]\sum \frac{a}{b+c+d}=\sum \frac{a^2}{ab+ac+ad} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2(ab+bc+cd+da+ac+bd)} \geq \frac{4}{3}[/tex]

- Em không hiểu cách làm của anh, cứ lớn hơn mãi, sao anh không ghi ra cho rõ để mọi người hiểu.

- Mà anh học ở sư phạm hả anh?

 

[ctsp_a1k40sp]

- Em không hiểu cách làm của anh, cứ lớn hơn mãi, sao anh không ghi ra cho rõ để mọi người hiểu.

- Mà anh học ở sư phạm hả anh?

- Như anh đã nói , kí hiệu đó giúp bài làm của anh đơn giản hơn mà mọi người khác vẫn hiểu ý ( anh ko bảo em ).

- Uhm.

- Đành post 1 bài dài vậy.....
Ta có

[TEX]\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d} + \frac{c}{b+a+d} + \frac{d}{b+c+a}= \frac{a^2}{ab+ac+ad} + \frac{b^2}{ba+bc+bd} + \frac{c^2}{cb+ca+cd} + \frac{d^2}{db+dc+da} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2(ab+bc+cd+da+ac+bd)} [/TEX]

Mặt khác

[TEX]3(a+b+c+d)^2=3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6(ab+bc+cd+da+ac+bd)(*)[/TEX]

[TEX]a^2+b^2 \geq 2ab, b^2+c^2 \geq 2bc,c^2+d^2 \geq 2cd,d^2+a^2 \geq 2ad,a^2+c^2 \geq 2ac,b^2+d^2 \geq 2bd[/TEX]

Vậy

[TEX] 3(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq 2(ab+bc+cd+da+ac+bd)[/TEX]

Kết hợp với [TEX](*) [/TEX]thu được
[TEX]3(a+b+c+d)^2 \geq 8(ab+bc+cd+da+ac+bd)[/TEX]

Hay nói một cách khác

[TEX]\frac{(a+b+c+d)^2}{2(ab+bc+cd+da+ac+bd)} \geq \frac{4}{3}.[/TEX]

Đây là điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=d [/TEX]