CM: Bất đẳng thức

[251295]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

- Chứng minh các BĐT sau:

1) Cho a, b, c > 0:

[TEX](a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq8[/TEX]

2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, Cm:

[TEX]1<\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2[/TEX]

3) Cho a, b, c > 0. CM:

[TEX]\frac{a+b-c}{c}+\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}\geq3[/TEX]

 

[tuananh8]

- Chứng minh các BĐT sau:

1) Cho a, b, c > 0:

[TEX](a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq8[/TEX]

2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, Cm:

[TEX]1<\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2[/TEX]

1) Áp dụng cô-si:

[TEX](a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a}) \geq 2\sqrt[]{\frac{a}{b}}.2\sqrt[]{\frac{b}{c}}.2\sqrt[]{\frac{c}{a}}=8\sqrt[]{\frac{a.b.c}{a.b.c}}=8[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

2) vì [TEX]a,b,c >0 \Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} < \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2[/TEX]

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}> \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c} =1 \; \Rightarrow [/TEX] đpcm.

 

[hello114day]

sao em TA không làm nốt bài 3 đi để lại làm gì nhìn ngữa mắt

 

[hunterking]

1a,áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số ko âm a, [TEX]\frac{1}{b}[/TEX] ta có:
a +[TEX]\frac{1}{b}[/TEX] \geq 2nhân căn [TEX]\frac{a}{b}[/TEX] (1)
Tương tự:
b +[TEX]\frac{1}{c}[/TEX] \geq 2nhân căn [TEX]\frac{b}{c}[/TEX] (2)
c+ [TEX]\frac{1}{a}[/TEX] \geq 2nhân căn [TEX]\frac{c}{a}[/TEX] (3)
Từ (1),(2) và (3):
\Rightarrow (a +[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]) nhân (b +[TEX]\frac{1}{c}[/TEX]) nhân c+ [TEX]\frac{1}{a}[/TEX] \geq (2nhân căn [TEX]\frac{a}{b}[/TEX])nhân (2nhân căn [TEX]\frac{b}{c}[/TEX]) nhân (2nhân căn [TEX]\frac{c}{a}[/TEX]) =8 dấu = có khi a=b=c
\Rightarrow (dpcm)
đúng ko bạn ? nếu sai thì bạn cho ý kiến nha!!!!

 

[hello114day]

- Chứng minh các BĐT sau:



3) Cho a, b, c > 0. CM:

[TEX]\frac{a+b-c}{c}+\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}\geq3[/TEX]

nhìn ngứa mắt thật !
[tex] \frac{a+b-c}{c} = (a+b)/c - 1 ==> \sum (a+b)/c \geq 6 [/tex]
tách ra cosi 6 số !

 

[251295]

sao em TA không làm nốt bài 3 đi để lại làm gì nhìn ngữa mắt

- Không ai giải quyết bài 3 à?

- Lúc post mình không biết làm nhưng giờ biết làm rùi nè:

[TEX]\frac{a+b-c}{c}+\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}[/TEX]

[TEX]=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-1[/TEX]

[TEX]=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})-3[/TEX]

- Áp dụng BĐT: [TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2[/TEX] (Với x, y>0). Ta có:

[TEX]\frac{a+b-c}{c}+\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}\geq2+2+2-3=3 \Rightarrow dpcm[/TEX]

- Có 3 bài BĐT mà giải quyết trong 20 phút. Mình nghĩ học mãi nên có những topic như thế này để giúp nâng cao hiệu quả học tập.

 

[251295]

- Đề típ nè:

1) Cho a, b, c > 0. CM: (Cực dễ)

[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc[/TEX]

2) CM Bất đẳng thức với số tự nhiên:

[TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<1[/TEX] (Với n thuộc N, n\geq2)

 

[hunterking]

3. ta co si cho 6 số ko âm [TEX]\frac{a}{c}[/TEX],[TEX]\frac{b}{c}[/TEX],[TEX]\frac{b}{a}[/TEX],[TEX]\frac{c}{a}[/TEX],[TEX]\frac{c}{b}[/TEX], [TEX]\frac{a}{ab}[/TEX]:
thì ta được tổng 6 số \geq 6
khi đó trừ 2 vế cho 3 rồi quy đồng mẫu thức ta được BĐT cần CM
đúng hem!?????

 

[diemhang307]

- Đề típ nè:

1) Cho a, b, c > 0. CM: (Cực dễ)

[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc[/TEX]

Cô - si cho 3 số là OK !

 

[hunterking]

đề tiếp của bạn bài 1 chi cần áp dụng Co si lần lượt cho các số a và b ,b và c , c và a sẽ đươc BĐT cần CM!!!!!

 

[251295]

Cô - si cho 3 số là OK !

- ừm

[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc[/TEX]

- Con này làm cosi cho 3 số đấy.

- Nhưng tôi muốn các bạn làm cách khác cơ.

- Đừng có cổ điển mãi với cosi, dùng cosi thì:

[TEX]a+b \geq 2\sqrt{ab}[/TEX]

[TEX]b+c \geq 2\sqrt{bc}[/TEX]

[TEX]c+a \geq 2\sqrt{ca}[/TEX]

- Nhân từng vế được:

[TEX](a+b)(b+c)(c+a) \geq 8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc[/TEX]

 

[hunterking]

đề tiếp của bạn bài 1 chi cần áp dụng Co si lần lượt cho 2 số lần lượt a và b ,b và c , c và a rồi nhân lại với nhausẽ đươc BĐT cần CM!!!!!
Đúng ko bạn??
Còn câu b mình chịu

 

[251295]

2) CM Bất đẳng thức với số tự nhiên:

[TEX] \frac {1}{2^2}+\frac {1}{3^2}+...+\frac {1} {n^2}<1[/TEX] (Với n thuộc N, n\geq2)

- Không ai làm thì mình làm vậy.

- Ta có: [TEX]\frac{1}{2^2}= \frac {1}{4}<\frac{1}{1.2}[/TEX]

- Tương tự, ta có: [TEX]\frac {1}{3^2}=\frac {1}{9}<\frac {1}{2.3}[/TEX]

[TEX]...[/TEX]

[TEX]\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n.n}<\frac{1}{(n-1)n}[/TEX]

- Cộng từng vế vào, ta được:

[TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}<1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<1[/TEX]

- Ai post đề típ đi.

 

[hunterking]

hey! 251295!(ngày sinh của bạn phải ko ) bài 1 này tớ giải đúng chưa???

 

[khum_hangjen]

- ừm

[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc[/TEX]

- Con này làm cosi cho 3 số đấy.

- Nhưng tôi muốn các bạn làm cách khác cơ.

- Đừng có cổ điển mãi với cosi, dùng cosi thì:

[TEX]a+b \geq 2\sqrt{ab}[/TEX]

[TEX]b+c \geq 2\sqrt{bc}[/TEX]

[TEX]c+a \geq 2\sqrt{ca}[/TEX]

Thế đây không phải là Cô - si thì là kí rì .

 

[hunterking]

minh có đề típ nè!
1.cho a,b,c lớn hơn 0 và a+b+c =1. CMR:
[TEX]\frac {1}{a^2+2bc}[/TEX] + [TEX]\frac {1}{b^2+2ac}[/TEX] +[TEX]\frac {1}{c^2+2ba}[/TEX] \geq 9 (cực dễ)
BYE! mai gặp lai nha 251295

 

[tuananh8]

- Không ai giải quyết bài 3 à?

- Lúc post mình không biết làm nhưng giờ biết làm rùi nè:

[TEX]\frac{a+b-c}{c}+\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}[/TEX]

[TEX]=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-1[/TEX]

[TEX]=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})-3[/TEX]

- Áp dụng BĐT: [TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2[/TEX] (Với x, y>0). Ta có:

[TEX]\frac{a+b-c}{c}+\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}\geq2+2+2-3=3 \Rightarrow dpcm[/TEX]

- Có 3 bài BĐT mà giải quyết trong 20 phút. Mình nghĩ học mãi nên có những topic như thế này để giúp nâng cao hiệu quả học tập.

Có cách khác:

Đặt [TEX]a+b-c=x \; ; b+c-a=y \; ; c+a-b=z[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{2}(\frac{a+b-c}{c}+\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b})=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX] (theo BĐT nesbit)

[TEX]\Rightarrow \frac{a+b-c}{c}+\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b} \geq 3[/TEX] đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

 

[hunterking]

thêm 1 câu nữa nè!!
cho a,b,c lớn hơn 0 ,abc=1
CMR:
[TEX]\frac{a}{2+a}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{2+b}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{2+c}[/TEX] \geq 1

 

[tuananh8]

minh có đề típ nè!
1.cho a,b,c lớn hơn 0 và a,b,c \leq 1. CMR:
[TEX]\frac {1}{a^2+2bc}[/TEX] + [TEX]\frac {1}{b^2+2ac}[/TEX] +[TEX]\frac {1}{c^2+2ba}[/TEX] \geq 9 (cực dễ)
BYE! mai gặp lai nha 251295

Hình như đề sai bạn ạ, với [TEX]a=b=c=1[/TEX] thì [TEX]\frac {1}{a^2+2bc}[/TEX] + [TEX]\frac {1}{b^2+2ac}+\frac {1}{c^2+2ba}=1 < 9 \; ???[/TEX]

 

[hunterking]

nhầm cho mình sửa lại nha!!! phai là
a+b+c =1
hihihihhi!sorry!