CM bất đẳng thức

K

kakashi_hatake

Chứng minh
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} \\ \leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2.\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd \\ \leftrightarrow \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \ge ac+bd $
ac+bd<0 thì luôn đúng
ac+bd>0 có
$ \leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 \ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd \\ \leftrightarrow a^2d^2+c^2b^2 \ge 2abcd $
Dấu bằng xảy ra khi ad=bc

Áp dụng vào bài trên có
$\sqrt{(a-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}}+\sqrt{(a+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}} \ge \sqrt{(a-\dfrac{1}{2}-a-\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2} = 2$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom