Toán 8 CM: $a^{2}+b^{2}\le 1+ab$

[Love You At First Sight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh rằng số [tex]n^{2}+2014[/tex] với n nguyên dương không là số chính phương.
2) Cho a, b là các số dương thỏa mãn [tex]a^{3}+b^{3}=a^{5}+b^{5}[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]a^{2}+b^{2}[/tex] ≤ 1 + ab

 

[hdiemht]

1) Chứng minh rằng số [tex]n^{2}+2014[/tex] với n nguyên dương không là số chính phương.
2) Cho a, b là các số dương thỏa mãn [tex]a^{3}+b^{3}=a^{5}+b^{5}[/tex]
Chứng minh rằng: [tex]a^{2}+b^{2}[/tex] ≤ 1 + ab

1) G/sử: [tex]n^{2}+2014[/tex] với n nguyên dương là số chính phương nên đặt: [tex]n^2+2014=k^2 \Leftrightarrow (k-n)(k+n)=2014[/tex]
Mà: [tex](k-n)-(k+n)=2n\Rightarrow k;n[/tex] phải cùng tính chẵn lẽ
Nên: [tex](k-n);(k+n)[/tex] chia hết cho $2$ nên $(k-n).(k+n)$ chia hết cho $4$. Mà $2014$ không chia hết cho $4$. Vậy đẳng thức không xảy ra. Hay có $dpcm$
2) [tex]a^{2}+b^{2}\le 1+ab[/tex] (*)
[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2-ab \le 1 \Leftrightarrow a^3+b^3 \le a+b \Leftrightarrow (a^3+b^3)(a^3+b^3)\le (a+b )(a^5+b^5)\Leftrightarrow 2a^3b^3 \le ab^5+a^5b \Leftrightarrow ab(a^5+b^4-2a^2b^2)\ge 0\Leftrightarrow ab(a^2-b^2)^2 \ge 0[/tex] (*')
Có: $(*')$ luôn đúng nên $(*)$ luôn đúng
---------
Cảm ơn bạn đã tin tưởng diễn đàn HOCMAI. Lần sau bạn hãy đăng câu hỏi kèm những gì bạn đã làm được với câu hỏi đó, đúng sai không phải là điều quan trọng. Quan trọng là bạn đã thật sự dành thời gian để hiểu nó, chúng tôi trân trọng điều đó - và chúng tôi rất vui được giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề để bạn tự tin hơn trong cuộc sống. Cảm ơn bạn!