[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Mong mn giúp đỡ ạ
Toán 10 Chuyên đề về số mũ đúng
- Thread starter oanh6807
- Ngày gửi
- Replies 2
- Views 254
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Mong mn giúp đỡ ạ
1. Nhận thấy mọi ước nguyên tố của [imath]b[/imath] đều là của [imath]a[/imath].
Đặt [imath]S = \{p\in \mathbb P: p\mid b\}[/imath].
Thế thì [imath]\forall p\in S[/imath], [imath]21v_p(a) \geq 10v_p(b)[/imath].
Đồng thời, ta thấy [imath]v_p(a) < 10[/imath]. (Thật vậy, giả sử [imath]v_p(a) \geq 10[/imath] thì [imath]a\geq p^{10} \geq 2^{10} > 1000[/imath], vô lí)
Đặt [imath]v_p(a)=x[/imath] thì [imath]v_p(b)\leq \left\lfloor \frac{21x}{10}\right\rfloor = 2x + \left\lfloor \frac{x}{10}\right\rfloor = 2x[/imath]
[imath]\Rightarrow v_p(b) \leq v_p(a).2 = v_p(a^2)[/imath].
Vì mọi ước nguyên tố [imath]p[/imath] của [imath]b[/imath] đều có tính chất này nên [imath]b\mid a^2[/imath].
Đặt [imath]S = \{p\in \mathbb P: p\mid b\}[/imath].
Thế thì [imath]\forall p\in S[/imath], [imath]21v_p(a) \geq 10v_p(b)[/imath].
Đồng thời, ta thấy [imath]v_p(a) < 10[/imath]. (Thật vậy, giả sử [imath]v_p(a) \geq 10[/imath] thì [imath]a\geq p^{10} \geq 2^{10} > 1000[/imath], vô lí)
Đặt [imath]v_p(a)=x[/imath] thì [imath]v_p(b)\leq \left\lfloor \frac{21x}{10}\right\rfloor = 2x + \left\lfloor \frac{x}{10}\right\rfloor = 2x[/imath]
[imath]\Rightarrow v_p(b) \leq v_p(a).2 = v_p(a^2)[/imath].
Vì mọi ước nguyên tố [imath]p[/imath] của [imath]b[/imath] đều có tính chất này nên [imath]b\mid a^2[/imath].
2. Dễ thấy tập ước nguyên tố của [imath]x,y,z[/imath] là như nhau. Gọi [imath]S[/imath] là tập này.
Lấy [imath]p\in S[/imath] bất kì. Thế thì ta có hệ điều kiện: [imath]\begin{cases} v_p(x)\leq 3v_p(y) \\ v_p(y)\leq 3v_p(z) \\ v_p(z) \leq 3v_p(x) \end{cases}[/imath]. [imath](*)[/imath]
Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]v_p(x) = \min\{v_p(x), v_p(y), v_p(z)\}[/imath].
Từ [imath](*)[/imath] ta có: [imath]v_p(xyz) = v_p(x) + v_p(y) + v_p(z) \leq v_p(x) + 3v_p(z) + 3v_p(x) \leq 13v_p(x) = \leq 13v_p(x+y+z) = v_p((x+y+z)^{13}),\forall p\in S[/imath]
[imath]\Rightarrow xyz\mid (x+y+z)^{13}[/imath].
Lấy [imath]p\in S[/imath] bất kì. Thế thì ta có hệ điều kiện: [imath]\begin{cases} v_p(x)\leq 3v_p(y) \\ v_p(y)\leq 3v_p(z) \\ v_p(z) \leq 3v_p(x) \end{cases}[/imath]. [imath](*)[/imath]
Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]v_p(x) = \min\{v_p(x), v_p(y), v_p(z)\}[/imath].
Từ [imath](*)[/imath] ta có: [imath]v_p(xyz) = v_p(x) + v_p(y) + v_p(z) \leq v_p(x) + 3v_p(z) + 3v_p(x) \leq 13v_p(x) = \leq 13v_p(x+y+z) = v_p((x+y+z)^{13}),\forall p\in S[/imath]
[imath]\Rightarrow xyz\mid (x+y+z)^{13}[/imath].