Toán 11 Chuyên đề: Phương trình lượng giác

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phương trình lượng giác​

I. Kiến thức cơ bản

• Các phương trình lượng giác cơ bản:

• $\sin x=a \Leftrightarrow x=\arcsin a +k2\pi \vee x=\pi -\arcsin a +k2\pi $
• $\cos x=a \Leftrightarrow x=\arccos a +k2\pi \vee x=-\arccos a +k2\pi $
• $\tan x=a \Leftrightarrow x=\arctan a+ k\pi$
• $\cot x=a \Leftrightarrow x=arccot a+k\pi$

• Các phương pháp giải phương trình lượng giác:

• Sử dụng phương pháp đại số.

Với phương trình chỉ có $\sin x$ hoặc $\cos x,\tan x,\cot x$, ta có thể đặt $\sin x=t$(tương tự với $\cos x,\tan x,\cot x$) rồi đưa về dạng phương trình đại số.
Ví dụ: Giải phương trình $2\sin^2x-5\sin x-3=0$
Giải: $2\sin^2x-5\sin x-3=0 \Rightarrow (2\sin x-3)(\sin x+1)=0 \Rightarrow \sin x=-1 \vee \sin x=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\frac{-\pi}{2}+k2\pi \vee x=\frac{3\pi}{2}+k2\pi$
(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình có thể đưa về dạng trên, như là quy về một “ẩn” $\sin x$ hoặc $\cos x,\tan x,\cot x$)
Ví dụ: Giải phương trình $\cos 2x+3\sin x-4=0$
Giải: $\cos 2x-3\sin x+4=0 \Leftrightarrow 1-2\sin ^2x-3\sin x+4=0 \Leftrightarrow 2\sin^2x+3\sin x-5=0 \Leftrightarrow (\sin x-1)(2\sin x+5)=0 \Rightarrow \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$
(Một số cách biến đổi đưa về phương trình đại số:

• Phương trình dạng $a\sin ^2x+b\sin x\cos x+c\cos ^2x=d$.

Chia cả 2 vế cho $\cos ^2x$ đưa toàn bộ VT về $\tan x$, dùng công thức $\frac{1}{\cos ^2x}=1+\tan ^2x$ để đưa về phương trình ẩn $\tan x$.

• Phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$

Chia 2 vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$, khi đó vì $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1$ nên tồn tại $\alpha$ sao cho $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \alpha, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \alpha$. Phương trình đã cho tương đương với $\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2}} \Rightarrow \sin (x+\alpha)=\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2}}$

• Phương trình dạng $a(\sin x \pm \cos x)+b\sin x.\cos x+c=0$

Đặt $\sin x \pm \cos x=t \Rightarrow \sin x.\cos x=\pm \frac{t^2+1}{2}$
Ta đưa về phương trình ẩn $t$.)

• Hạ bậc đề đưa về phương trình đơn giản hơn

Thông thường, những bài phương trình lượng giác có hệ số trong $\sin x$ hoặc $\cos x,\tan x,\cot x$ lớn, ta thường hạ hệ số hoặc phân tách hệ số thích hợp để có thể đưa về sử dụng phương pháp đại số.
Ví dụ: Giải phương trình $sin^23x-sin^22x-sin^2x=0$
Giải: $sin^22x=sin^23x-sin^2x=\frac{1-\cos 6x}{2}-\frac{1-\cos2x}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 6x}{2}=\sin 2x.\sin 4x \Rightarrow \sin 2x(\sin 4x-\sin 2x)=0 \Rightarrow \sin 2x. \cos 3x. \sin x=0$

• Phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt ẩn phụ là phương pháp giúp ta có thể đưa về phương trình dạng đại số dễ nhất. Thông thường, ta có thể đặt ẩn phụ luôn, chỉ có một số bài hiếm gặp mới phải biến đổi công thức lượng giác mới có thể đặt ẩn phụ.
Sau đây là các cách đặt ẩn thông thường:

1. Đặt $t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \tan x=\frac{2t}{t^2-1}, \cot x=\frac{t^2-1}{2t}.$
2. Đặt $t=\frac{1}{\sin x}$ hoặc $t=\frac{1}{\cos x}$ với $|t| \geq 1$.
3. Đặt $t=a\sin x+b\cos x$ với $|t| \leq \sqrt{a^2+b^2}$.

• Phương pháp đánh giá, bất đẳng thức.

Có một số ít dạng bài tập rơi vào dạng này, nhưng phương pháp này cũng là 1 phương pháp đáng chú ý. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển ( bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky ) hoặc là miền giá trị hàm số lượng giác.
Ví dụ: Giải phương trình $\cos x.\cos 5x=1$
Giải: Vì $|\cos x|, |\cos 5x| \leq 1 \Rightarrow \cos x.\cos 5x \leq |\cos x.\cos 5x| \leq 1$.
Dấu “ = “ xảy ra khi $\cos x=\cos 5x=1$ hoặc $\cos x=\cos 5x=-1$.
II. Các bài tập vận dụng

1. Giải phương trình: $2\sin ^2x+5\sin x\cos x+2\cos ^2x=2$
2. Giải phương trình: $\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$
3. Giải phương trình $\tan^2x+\cot ^2x=2$
4. Giải phương trình $\cos 2x+3\sin x=2$