Toán 8 [Chuyên đề] Hình Học Phẳng

Status
Không mở trả lời sau này.
N

nhuquynhdat

Bài 13: Cho hình thang cân ABCD, giao điểm 2 đường chéo là O. $S_{AOB}=9, S_{COD}=16$. TÍnh $S_{ABCD}$

Bài 14:
8eSQHOZ.png

Cho 2 hình vuông có cạnh 6cm và 4cm có một phần chồng lên nhau (hình trên). GỌi diện tích phần còn lại (ko chồng lên nhau) của hình vuông nhỏ là $S_1$, của hình vuông lớn là $S_2$. Tính hiệu $S_2-S_1$

Bài 15: Cho hình thoi ABCD có AB=13cm, AC+BD=34. Tính diện tích hình thoi
 
Last edited by a moderator:
H

hiendang241

Screenshot9_zpsa3582ff6.png


dễ dàng chứng minh đc SACD=SBCD

\Rightarrow SACD-SODC=SBCD-SODC

\Rightarrow SAOD=SBOC

hay SAOB.$\dfrac{OD}{OB}$=SODC.$\dfrac{OB}{OD}$

$\dfrac{SAOB}{SDOC}$=$\dfrac{OB^2}{OD^2}$

\Rightarrow $\dfrac{OB}{OD}$=$\dfrac{3}{4}$

\Rightarrow SAOD=SOBC=$\dfrac{3}{4}$.16=12

\RightarrowSABCD=9+16+12.2=49

 
Last edited by a moderator:
S

su10112000a


Bài 15: Cho hình thoi ABCD có AB=13cm, AC+BD=34. Tính diện tích hình thoi
nhờ bác thịnh bổ sung hình :))
ta có:
$AC+BD=34 \rightarrow AC^2 + 2.AC.BD + BD^2 = 1156$
$\rightarrow \dfrac{1}{4}.OA^2 + \dfrac{1}{4}.OB^2 + 2.AC.BD = 1156$
$\rightarrow \dfrac{1}{4}.AB^2 + 2.AC.BD = 1156$
$\rightarrow \dfrac{169}{4} + 2.AC.CD = 1156$
$\rightarrow \dfrac{1}{2}.AC.BD = \dfrac{4455}{16}$
$\rightarrow KL..........$
chẳng biết đúng ko =))

@nhuquynh: bác coi lại bài đi, sai rầu
 
Last edited by a moderator:
H

hiendang241

bài 15:Cho 2 hình vuông có cạnh 6cm và 4cm có một phần chồng lên nhau (hình trên). GỌi diện tích phần còn lại (ko chồng lên nhau) của hình vuông nhỏ là S1, của hình vuông lớn là S2. Tính hiệu S2−S1

gọi phần S chồng lên nhau của 2 hình vuông là S

khi đó S2-S1=($6^2$-S)-($4^2$-S)=S2-S1=$6^2$-$4^2$=20

ko biết có đúng ko
 
Last edited by a moderator:
H

hiendang241

Bài 15: Cho hình thoi ABCD có AB=13cm, AC+BD=34. Tính diện tích hình thoi

ta có AC+BD=34

\Rightarrow $AC^2$+$BD^2$+2AC.BD=1156

\Rightarrow 4$OA^2$+4$OB^2$+2AC.BD=1156

\Rightarrow 4 $AB^2$+2AC.BD=1156

\Rightarrow $\dfrac{1}{2}$AC.BD=120
 
T

thinhrost1

Định lí Céva và các ứng dụng

Định lý Ceva (Xê-va)

Định lí Ceva là một định lí phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lí phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi:
$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$

Chứng minh:

Giả sử AD, BE, CF đồng qui tại H. Kẻ qua A đường AG//CI//BE (Như hình ), ta có:

Untitled_zpsedc9a1b6.png


$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} =\dfrac{AG}{HB} \cdot \dfrac{BH}{CI} \cdot \dfrac{CI}{GA} =1$

Giả sử có:

$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1.$. Và AD cắt BE tại H. Tia CH cắt AB tại E'. Theo câu a) thì:

$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE'}{E'A} = 1.$. Từ đó suy ra:

$E' \equiv E$

Vậy: Định lí được chứng minh

Áp dụng:

Bài 16: D là trung điểm của BC của tam giác ABC. E, F lần lượt là hai điểm trên AB và AC. Chứng minh rằng nếu AD, BF, CE đồng quy thì EF//BC

Có thể bạn chưa biết:

thinhrost1 said:
Giovanni Ceva (ngày 07 tháng 12 1647 - 15 tháng 6 1734) là một nhà toán học người Ý được biết đến rộng rãi để chứng minh định lý Ceva trong hình học cơ bản. Anh trai của ông, Tommaso Ceva cũng là một nhà thơ nổi tiếng và nhà toán học.

Ceva theo học tại một trường đại học Dòng Tên ở Milan. Sau này trong cuộc sống của mình, ông học tại Đại học Pisa, nơi ông sau đó trở thành một giáo sư. Vào năm 1686, tuy nhiên, ông đã được chỉ định là Giáo sư Toán học tại Đại học Mantua và làm việc ở đó cho phần còn lại của cuộc đời mình.

Ceva nghiên cứu hình học cho hầu hết của cuộc sống lâu dài của mình. Vào năm 1678, ông xuất bản một định lý nổi tiếng về hình học tổng hợp trong một hình tam giác được gọi là Định lý Ceva. Định lý nói rằng nếu ba đoạn đường được rút ra từ các đỉnh của một hình tam giác với các cạnh đối diện, sau đó các phân đoạn đường ba là đồng thời nếu và chỉ nếu, tích của các tỷ lệ của các phân đoạn đường mới được tạo ra trên mỗi bên của tam giác bằng một. Ông đã xuất bản định lý mới này trong De lineis rectis.

Ceva không chỉ được công bố định lý riêng của mình, nhưng ông cũng khám phá và công bố định lý Menelaus. Ông đã xuất bản Opuscula Mathematica trong năm 1682 và Geometria Motus năm 1692, là tốt. Trong Geometria Motus, ông dự đoán các tính toán vô cùng. Cuối cùng, Ceva viết De Re Nummeraria năm 1711, đó là một trong những cuốn sách đầu tiên về kinh tế toán học.

Giovanni Ceva cũng nghiên cứu các ứng dụng của cơ học và tĩnh với các hệ thống hình học. Tại một thời điểm, tuy nhiên, ông không chính xác giải quyết các thời kỳ dao động của con lắc là hai trong cùng một tỷ lệ như độ dài của họ, nhưng sau đó ông nhận ra và sửa chữa các lỗi. Ceva cũng làm việc về thủy lực. Năm 1728, ông xuất bản Opus hydrostaticum mà thảo luận về công việc của mình trong hệ thống thủy lực. Trong thực tế, ông đã sử dụng kiến ​​thức của ông về hệ thống thủy lực để ngăn chặn một dự án từ chuyển Reno sông xuống sông Po.

 
Last edited by a moderator:
H

hiendang241

Bài 16: D là trung điểm của BC của tam giác ABC. E, F lần lượt là hai điểm trên AB và AC. Chứng minh rằng nếu AD, BF, CE đồng quy thì EF//BC

theo định lí Xê- va ta có

$\dfrac{EA}{BE}$.$\dfrac{BD}{DC}$.$\dfrac{FC}{AF}$=1

hay $\dfrac{AE.FC}{BE.AF}$=1(BD=DC)

\Rightarrow AE.FC=BE.AF

\Rightarrow $\dfrac{AE}{BE}$=$\dfrac{AF}{FC}$

\Rightarrow EF//BC(dpcm)

 
T

thinhrost1

Định lí Menelaus (Mê-nê-la-uýt)

Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

$\dfrac{FA}{FB}\cdot \dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{EC}{EA}=1$​
Menelaos%27s_theorem_1.png

Chứng minh định lý:


Phần thuận: Giả sử D, E, F thẳng hàng. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Theo định lý talet ta có
$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{FB}{CG}$ (1) và $\dfrac{EC}{EA} = \dfrac{CG}{FA}$ (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế
$\dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{FB}{FA} $
Từ đó suy ra
$\dfrac{FA}{FB}\cdot \dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{EC}{EA}=1$
Phần đảo: Giả sử $\dfrac{FA}{FB}\cdot \dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{EC}{EA} = 1$. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên ta có $\dfrac{F'A}{F'B}\cdot \dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{EC}{EA} = 1$
Kết hợp giả thuyết suy ra $\dfrac{FA}{FB} = \dfrac{F'A}{F'B}$
Do đó F' trùng với F.
Vậy định lý đã được chứng minh.

Bài tập áp dụng:

Bài 17: Cho góc xOy, trên tia Ox lấy C và A, trên tia Oy lấy D và B sao cho AD cắt BC tại E, các đường AB và CD cắt nhau tại K; tia OE cắt AB tại I. Chứng minh rằng: $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{KA}{KB}$

Có thể bạn chưa biết said:
Menelaus Alexandria (70 TCN-140 TCN) là nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp

Mặc dù rất ít thông tin về cuộc sống của Menelaus, người ta cho rằng ông sống ở Rome, nơi ông có thể di chuyển sau khi đã trải qua tuổi trẻ của mình ở Alexandria. Ông được gọi là Menelaus của Alexandria cả Pappus của Alexandria và Proclus, và một cuộc trò chuyện của ông với Lucius, tổ chức tại Rome, được ghi lại bởi Plutarch.

Ptolemy (thế kỷ thứ 2 TCN) cũng đề cập đến, trong công việc của mình Almagest (VII.3), hai quan sát thiên văn do Menelaus ở Rome vào tháng Giêng năm 98. Đây là occultations của các ngôi sao Spica và Beta Scorpii bởi mặt trăng, một vài đêm ngoài. Ptolemy sử dụng những quan sát để xác nhận tuế sai của điểm phân, một hiện tượng đã được phát hiện bởi Hipparchus trong thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên.

Sphaerica là cuốn sách duy nhất tồn tại, trong một bản dịch tiếng Ả Rập. Bao gồm ba cuốn sách, nó đề với hình học của hình cầu và ứng dụng của nó trong các phép đo thiên văn và tính toán. Cuốn sách giới thiệu các khái niệm về tam giác hình cầu (số liệu hình thành của ba vòng cung vòng tròn lớn, mà ông đặt tên là "trilaterals") và chứng minh định lý Menelaus 'trên cộng tuyến của các điểm trên các cạnh của một tam giác (có thể đã được biết đến trước đây) và tương tự của nó cho tam giác hình cầu. Sau đó nó đã được dịch bởi nhà thiên văn học thế kỷ XVI và nhà toán học Francesco Maurolico.

Miệng núi lửa âm lịch Menelaus được mang tên ông.
 
Last edited by a moderator:
N

nhuquynhdat

Để 1 tuần ko ai giải nên em xin :))

Bài 17

Jw6dxsw.png


Xét $\Delta AOB$ có OI, BC, AD đồng quy

$\Longrightarrow \dfrac{AI}{BI}.\dfrac{OC}{AC}.\dfrac{BD}{OD}=1$ (định lí Ceva) (1)

Mặt khác $\Delta AOB$ có:

$\dfrac{AK}{BK}.\dfrac{BD}{DO}.\dfrac{OC}{AC}=1$ (định lí Menelaus) (2)

Từ (1) và (2) $\Longrightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{KA}{KB}$
 
T

thinhrost1

Bài 18: Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, BC=a, đường cao AH=h, tính cạnh của hình vuông MNPQ có M thuộc AB, n thuộc AC, P và Q thuộc BC.

Bài 19: Tính chu vi tam giác ABC vuông tại A, biết đường cao AH chia tam giác đó thành hai tam giác AHB và AHC có chu vi lần lượt là 18 và 24 cm

Bài 20: Cho tam giác ABH vuông tại H có AB=20cm, BH=12cm. Trên tia đối HB lấy C sao cho 3AC=5AH. Tính AC

Bài 21:Cho tam giác ABC. Lấy điểm D, E tuỳ ý theo thứ tự nằm trên AB, AC sao cho BD=CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Chứng minh rằng tỉ số KE:KD không phụ thuộc vào D và E.
 
C

cunkute16

Bài 22:Cho hình vuông ABCD cạnh a,điểm E thuộc CD.Tia phân giác của DAE cắt CD ở F.Gọi H là hình chiếu của F trên AE.K là giao điểm của FH và BC.
a)Tính AH
b)CM: AK là tia phân giác của BAE
c)Tính chu vi của tam giác CFK

@thinh: Chú ý dùng ít icon
 
Last edited by a moderator:
T

thinhrost1



Bài 19:
131f6ac.png

Tỉ số đồng dạng của tam giác ABH và tam giác AHC :$\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$
\Leftrightarrow $\frac{P \large\Delta ABH}{3}=\frac{P \large\Delta ABC}{7}=6$
\Rightarrow $P \large\Delta ABC=42$

Bài 19 làm sai nhé:


Ta chứng minh rằng:

$\Delta AHB \sim \Delta CHA \sim \Delta CAB$ (g.g)

suy ra:

$\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{CV_{AHB}}{CV_{CHA}}=\dfrac{3}{4}$

$ \dfrac{AH}{CA}=\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{CV_{AHB}}{CV_{ABC}}=\dfrac{18}{CV_{ABC}}$ (2)

Đặt AB=3k, AC=4k suy ra: BC=5k Do đó: $\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{3}{5}$

Thay vào (2) tính được Chu vi tam giác ABC=30(cm)
 
D

deadguy

Bài 22:Cho hình vuông ABCD cạnh a,điểm E thuộc CD.Tia phân giác của DAE cắt CD ở F.Gọi H là hình chiếu của F trên AE.K là giao điểm của FH và BC.
a)Tính AH
b)CM: AK là tia phân giác của BAE
c)Tính chu vi của tam giác CFK

3fc8bd.png

Xét tam giác ADF vuông tại D và tam giác AHF vuông tại H có :
$\widehat{DAF}=\widehat{HAF}$
$AF$ chung
=> Tam giác $ADF$=Tam giác $AHF$ $(ch-gn)$
=>$AD=AH=a$
 
B

boybuonsg

Bài 23 : Cho hình thang cân ABCD ( AB// CD ) có chu vi = 5 . Góc DBC = 90 độ , CD = 2 . Tính AB
 
T

teoneo2001

giúp mình bài này với

Cho tam giác abc có góc A bằng 60, AB bằng 3 cm, AC bằng 5cm. Đường phân giác AD = d (cm). Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABE, ACF.
a) chứng minh A,E,F thẳng hàng.
b) gọi M,n lần lượt là trung điểm của AE và AF. tính diện tích DMN
 
P

phianhchau001

Cho hình thang ABCD(AD//BC) có diện tích là S. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Xác định dạng của hình thang ABCD để diện tích ABO đạt GTLN.
Hộ mình nhé
 
H

huyenltv274


Giúp mk với nhé :D
Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy P s/cho PC=2PB
Tính $\widehat{ACB}$ nếu $\widehat{ABC}=45^o;\widehat{APC}=60^o$
 

CA pHe Trong SUot

Học sinh chăm học
Thành viên
2 Tháng ba 2017
15
2
66
19
Cho tam giác ABC có AB=AC=10cm,BC=16cm.Trung tuyến AO.Lấy D đối xứng với A qua O.KẺ OH vuông góc với CD tại H.Đường thẳng vuông góc với AD tại D cắt tia AB tại E.Gọi I là giao điểm của BD và EO,K là trung điểm của OB.Chứng minh ba điểm A,K,I thẳng hàng
 

lengoctutb

Học sinh tiến bộ
Thành viên
28 Tháng hai 2016
1,297
990
221
Cho tam giác ABC có AB=AC=10cm,BC=16cm.Trung tuyến AO.Lấy D đối xứng với A qua O.KẺ OH vuông góc với CD tại H.Đường thẳng vuông góc với AD tại D cắt tia AB tại E.Gọi I là giao điểm của BD và EO,K là trung điểm của OB.Chứng minh ba điểm A,K,I thẳng hàng

IMG_1787.PNG


IMG_1786.JPG
 

CA pHe Trong SUot

Học sinh chăm học
Thành viên
2 Tháng ba 2017
15
2
66
19
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AD.
Vẽ DE vuông góc với AB tại E, vẽ DF vuông góc với AC tại F, AD cắt EF tại I.
Chứng minh diện tích tam giác CIA bằng diện tích tam giác CID.
Chung minh AE/AB+AF/AC=1
 
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom