Toán 10 Chuyên đề đường đối trung

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn và các đường đối trung của tam giác ABC đồng quy tại điểm L. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua L song song với cạnh BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại [tex]B_{1}; C_{2}[/tex]; đường thẳng đi qua L song song với cạnh AC cắt các cạnh BC, AB lần lượt tại [tex]A_{2}; C_{1}[/tex]; đường thẳng đi qua L song song với cạnh AB cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại [tex]B_{2}; A_{1}[/tex]
a, Chứng minh rằng nếu H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC thì đường thẳng LM đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH.

Mình cảm ơn ạ.

 

[7 1 2 5]

Anh nghĩ câu a) ta không cần đến điểm [TEX]A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2[/TEX] đâu nhỉ.
Gọi X,Y,Z lần lượt là giao điểm 2 tiếp tuyến tại B và C, C và A, A và B của (O).
Trên BC lấy [TEX]X_1,X_2,[/TEX] trên CA lấy [TEX]Y_1,Y_2[/TEX], trên AB lấy [TEX]Z_1,Z_2[/TEX] sao cho [TEX]X_1Z_2 \parallel XZ, X_2Y_1 \parallel XY, Y_2Z_1 \parallel YZ[/TEX] và [TEX]X_1Z_2,X_2Y_1,Y_2Z_1[/TEX] đi qua L.
Khi đó theo định nghĩa điểm L thì AX, BY, CZ đi qua L.
Lại có: [TEX]\widehat{AZ_1Y_2}=\widehat{ZAB}=\widehat{ACB}[/TEX] nên [TEX]BZ_1Y_2C[/TEX] nội tiếp.
Vì AL, AM đẳng giác nên [TEX]\Delta AZ_1L \sim \Delta ACM,\Delta AY_2L \sim \Delta ABM[/TEX], suy ra [TEX]Y_2L=Z_1L[/TEX]
Tương tự thì L là trung điểm [TEX]X_2Y_1,X_1Z_2[/TEX].
Từ đó [TEX]X_1,X_2,Y_1,Y_2,Z_1,Z_2[/TEX] thuộc đường tròn tâm L.
Nhận thấy [TEX]X_1Z_2,X_2Y_1[/TEX] là đường kính đường tròn trên nên [TEX]X_1X_2Z_2Y_1[/TEX] là hình chữ nhật. [TEX]\Rightarrow X_2Y_2 \perp X_1X_2,X_1Y_1 \perp X_1X_2 \Rightarrow X_2Y_2 \parallel AH \parallel X_1Y_1[/TEX]
Gọi I là trung điểm AH, BI cắt [TEX]X_2Z_2[/TEX] tại D, CI cắt [TEX]X_1Y_1[/TEX] tại E.
Khi đó thì theo bổ đề hình thang thì D là trung điểm [TEX]X_2Z_2[/TEX], E là trung điểm [TEX]X_1Y_1[/TEX].
Từ đó thì L là trung điểm DE.
Áp dụng bổ để hình thang 1 lần nữa cho hình thang BDEC thì ta có ML đi qua trung điểm BC.

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.