Toán 11 [Chương V] Đạo hàm

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

A. Đạo hàm và các công thức đạo hàm
I. Kiến thức cơ bản

• Các kiến thức cơ bản của phần này đã được tổng hợp ở đây nên mình sẽ không nhắc lại nhé.
• Thay vào đó thì mình sẽ bổ sung bảng đạo hàm các hàm số cơ bản:
  

(lưu ý là công thức thứ hai đúng với mọi [imath]n[/imath] là số hữu tỉ nhé)
II. Một số dạng toán liên quan
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. [imath]y=x^3-2x^2+x-4[/imath]
2. [imath]y=\dfrac{2x-1}{x+2}[/imath]
3. [imath]y=\sqrt{x^2+4x+1}[/imath]
4. [imath]y=\sin (4x+2)[/imath]

Spoiler: Lời giải

1. [imath]y’=3x^2-4x+1[/imath]
2. [imath]y’=\dfrac{(2x-1)’(x+2)-(x+2)’(2x-1)}{(x+2)^2}[/imath]

[imath]= \dfrac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}[/imath]
[imath]= \dfrac{5}{(x+2)^2}[/imath]

1. Xét [imath]f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x^2+4x+1[/imath] thì [imath]y=f(g(x))[/imath]

[imath]\Rightarrow y’=f’(g(x)).g’(x)[/imath]
Vì [imath]f’(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},g’(x)=2x+4[/imath] nên ta có:
[imath]= \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+4x+1}}.(2x+4)=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}[/imath]

Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình liên quan tới [imath]y’[/imath].
Ví dụ: Giải phương trình [imath]y’=0[/imath] với:

1. [imath]y=4x^3-12x^2+9x-1[/imath]
2. [imath]y=\dfrac{2x^2+2}{1-x}[/imath]

Giải bất phương trình [imath]y’ \geq 0[/imath] với:

1. [imath]y=x^3-3x^2+2[/imath]
2. [imath]y=\dfrac{2x^2+x}{x+1}[/imath]

Spoiler: Lời giải

1. [imath]y’=12x^2-24x+9=(4x-3)^2=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}[/imath]
2. [imath]y’=\dfrac{(2x^2+2)’(1-x)-(1-x)’(2x^2+2)}{(x-1)^2}[/imath]

[imath]= \dfrac{4x(1-x)+(2x^2+2)}{(x+2)^2}[/imath]
[imath]= \dfrac{-2x^2+4x+2}{(x+2)^2}[/imath]
[imath]y’=0 \Leftrightarrow -2x^2+4x+2=0 \Leftrightarrow x^2-2x-1=0 \Leftrightarrow x=1+\pm \sqrt{2}[/imath]

1. [imath]y’=3x^2-6x=3x(x-2)[/imath]

[imath]y’ \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2 \vee x \leq 0[/imath]

1. [imath]y’=\dfrac{(2x^2+x)’(x+1)-(x+1)’(2x^2+x)}{(x+1)^2}[/imath]

[imath]=\dfrac{(4x+1)(x+1)-(2x^2+x)}{(x+1)^2}[/imath]
[imath]=\dfrac{2x^2+4x+1}{(x+1)^2}[/imath]
[imath]y’ \geq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -1 \\ 2x^2+4x+1 \geq 0 \end{cases}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -1 \\ x \geq \dfrac{\sqrt{2}-2}{2} \vee x \leq \dfrac{-\sqrt{2}-2}{2} \end{cases}[/imath]

B. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
I. Kiến thức cơ bản

• Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có đồ thị là đường cong [imath](C)[/imath] và điểm [imath]M(x_0,y_0) \in (C)[/imath]. Khi đó phương trình đường thẳng tiếp tuyến với [imath](C)[/imath] tại [imath]M[/imath] là [imath]y=f’(x_0)(x-x_0)+y_0[/imath]
• Từ trên ta suy ra hệ số góc của tiếp tuyến với [imath](C)[/imath] tại điểm có hoành độ [imath]x_0[/imath] là [imath]f’(x_0)[/imath].

II. Một số dạng bài tập liên quan
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm trên đồ thị
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết hệ số góc.
Cách giải: Gọi [imath]M(x_0,y_0)[/imath] là tiếp điểm của đồ thị với tiếp tuyến.
Khi đó [imath]f’(x_0)[/imath] sẽ là hệ số góc của tiếp tuyến. Giải phương trình [imath]f’(x_0)=...[/imath] ta tính được [imath]x_0[/imath], từ đó tìm được phương trình tiếp tuyến.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết 1 điểm cho trước trên tiếp tuyến.
Cách giải: Gọi [imath]M(x_0,y_0)[/imath] là tiếp điểm của đồ thị với tiếp tuyến.
Khi đó ta có [imath]y_0=f(x_0)[/imath]. Phương trình tiếp tuyến tại điểm [imath]M[/imath] là [imath]y=f’(x_0)(x-x_0)+f(x_0)[/imath]
Thay tọa độ điểm trên tiếp tuyến vào, giải phương trình ta tính được [imath]x_0[/imath]. Từ đó tìm được phương trình tiếp tuyến.