Chương III.Tổ hợp ,xác suất và số phức

[phuocthinht]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các vipers!.Tớ xin mạo phép lập topic này
Và cái tên chủ đề của nó cũng đã nói lên ý nghĩa của topic
Tớ lập ra topic này với lí do :chúng mình sẽ cùng giải các bài tập về nhà của chương này và đồng thời tớ hoặc ai có bài nào hay thì post lên để các vipers có thể luyện tập tốt chuyên đề này
Một vài điều quy định của topic :
-Ưu tiên hoàn thành các bài tập về nhà và bài tập trong sách thầy Trần Phương trước
-Hoàn thành các bài tập cũ đã post lên ,sau đó mới post bài mới
Mong rằng các cậu có sẽ tham gia và tuần thủ quy định của topic !
Chúc các vipers ngày càng học giỏi ! và 100% đậu Đại Học

 

[phuocthinht]

Tớ xin khai cuộc trước nha!
Bài 1.Chứng minh rằng :[TEX]C_n^0+3C_n^1+5C_n^2+...+(2n+1)C_n^n=(n+1)2^n[/TEX]
Bài giải
Ta có :[TEX]C_n^0+3C_n^1+5C_n^2+...+(2n+1)C_n^n=(n+1)2^n[/TEX]
[TEX]=(C_n^n+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n) +2(C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n)[/TEX]
Mặt khác:
Ta có :[TEX](1+x)^n=C_n^n+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n[/TEX](1)
Thay x=1 vào đẳng thức (1) ta có :
[TEX]C_n^n+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n[/TEX](a)
Đạo hàm cả hai vế (1) ta được:
[TEX]C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1}=n(1+x)^{n-1}[/TEX](2)
Thay x=1 vào đẳng thức (2) ta được:
[TEX](C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n)=n2^{n-1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n)=n2^n[/TEX](b)
Cộng (a),(b) vế theo vế ta được :
[TEX](C_n^n+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n) +2(C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n)=2^n+n2^n[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]C_n^0+3C_n^1+5C_n^2+...+(2n+1)C_n^n=(n+1)2^n[/TEX] (đpcm)

 

[phuocthinht]

Bài 2:Chứng minh rằng :[TEX]2^{n-1}C_n^1+2.2^{n-2}C_n^2+3.2^{n-3}C_n^3+...+nC_n^n=n.3^{n-1}[/TEX]

 

[phuocthinht]

Bài 2:Chứng minh rằng :[TEX]2^{n-1}C_n^1+2.2^{n-2}C_n^2+3.2^{n-3}C_n^3+...+nC_n^n=n.3^{n-1}[/TEX]

Bài giải
Xét :[TEX](2+x)^n=C_n^02^n+C_n^12^{n-1}x+C_n^22^{n-2}x^2+...+C_n^nx^n[/TEX]
Đạo hàm cả hai vế ta được
[TEX]C_n^12^{n-1}+2C_n^22^{n-2}x^2+...+nC_n^nx^{n-1}=n(2+x)^{n-1}[/TEX]
Thay x=1 vào đẳng thức trên ta được:
[TEX]2^{n-1}C_n^1+2.2^{n-2}C_n^2+3.2^{n-3}C_n^3+...+nC_n^n=n3^{n-1}[/TEX] (đpcm)

 

[phuocthinht]

Bài 3.Chứng minh rằng :[TEX]C_n^1-2C_n^2+3C_n^3-4C_n^4+...+(-1)^{n-1}nC_n^n=0[/TEX]

 

[anhthu1290]

Tớ ko biết đánh công thức thì làm ntn đc! thôi cho t post 1 bài ko trái với quy định của topic nha! cậu thử làm xem cũng hay đó! ok!
Tính tổng:
[TEX]{\rm{S = 1 + P}}_1 {\rm{ + 2P}}_2 {\rm{ + 3P}}_3 {\rm{ + 4P}}_4 {\rm{ + }}....{\rm{ + (n - 1)P}}_{n - 1} \[/TEX]
(n là số tự nhiên, [TEX]{\rm{n}} \ge {\rm{2}}\[/TEX], [TEX]{\rm{P}}_i {\rm{ }}\[/TEX] là số hoán vị của i phần tử)
(bày cho t cách viết công thức với)

 

[forever_lucky07]

Xin chào em, anh đã sửa đề giúp em rồi đó, các bạn cùng vào làm nhé, còn về gõ công

thức em xem hướng dẫn trên diễn đàn nhé, hoặc liên hệ với nick của anh -- anh sẽ gửi

cho em phần mềm mathype để dùng đánh công thức cho tiện. Hy vọng lần sau sẽ tốt hơn!

 

[phuocthinht]

Bài 3.Chứng minh rằng :[TEX]C_n^1-2C_n^2+3C_n^3-4C_n^4+...+(-1)^{n-1}nC_n^n=0[/TEX]

Bài giải :
Xét [TEX](1+x)^{n}=C_n^o+C_n^1x+C_n^2x^2+...C_+n^nx^n[/TEX]
Đạo hàm cả 2 vế đẳng thức trên ta có :
[TEX]C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+...+nC_n^{n-1}=n(1+x)^{n-1}[/TEX]
Thay x=-1 vào đẳng thức trên ta được:
[TEX]C_n^1-2C_n^2+3C_n^3+...+(-1)^nnC_n^n=n(1-1)^n=0(dpcm)[/TEX]

 

[phuocthinht]

Bài số 4

Tớ ko biết đánh công thức thì làm ntn đc! thôi cho t post 1 bài ko trái với quy định của topic nha! cậu thử làm xem cũng hay đó! ok!
Tính tổng:
[TEX]{\rm{S = 1 + P}}_1 {\rm{ + 2P}}_2 {\rm{ + 3P}}_3 {\rm{ + 4P}}_4 {\rm{ + }}....{\rm{ + (n - 1)P}}_{n - 1} \[/TEX]
(n là số tự nhiên, [TEX]{\rm{n}} \ge {\rm{2}}\[/TEX], [TEX]{\rm{P}}_i {\rm{ }}\[/TEX] là số hoán vị của i phần tử)
(bày cho t cách viết công thức với)

Bài giải
Ta có: nP_n=(n+1-1)n!=(n+1)n!- n!
Suy ra _1=2!-1
2P_2=3!-2!
3P_3=4!-3!
4P_4=5!-4!
....
[TEX](n-1)P_{n-1}=n!- (n-1)![/TEX]
Suy ra :S= n! ( với [TEX]n\geq2[/TEX] )

 

[phuocthinht]

Bài số 5

Bài 5:Chứng minh rằng :[TEX]\frac{C_n^2}{(n-1)^2}+\frac{2C_n^3}{(n-1)^3}+...+\frac{(n-1)C_n^n}{(n-1)^n}=1 , \forall n\geq 2[/TEX]

 

[forever_lucky07]

Bài 5:Chứng minh rằng :[TEX]\frac{C_n^2}{(n-1)^2}+\frac{2C_n^3}{(n-1)^3}+...+\frac{(n-1)C_n^n}{(n-1)^n}=1 , \forall n\geq 2[/TEX]

Anh giải như sau, mọi người xem sao nhé:

Theo khai triển nhị thức Newton ta có:
[TEX]\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k x^k } = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + ... + C_n^n x^n \\ \Rightarrow \frac{{\left( {x + 1} \right)^n }}{x} = \frac{{C_n^0 }}{x} + C_n^1 + C_n^2 x + C_n^3 x^2 + ... + C_n^n x^{n - 1} \\ \end{array}\[/TEX]

Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
[TEX]\begin{array}{l}\frac{{nx\left( {x + 1} \right)^{n - 1} - \left( {x + 1} \right)^n }}{{x^2 }} = - \frac{{C_n^0 }}{{x^2 }} + C_n^2 + 2C_n^3 x + 3C_n^4 x^2 + ... + \left( {n - 1} \right)C_n^n x^{n - 2} \\ \Rightarrow nx\left( {x + 1} \right)^{n - 1} - \left( {x + 1} \right)^n + C_n^0 = C_n^2 x^2 + 2C_n^3 x^3 + ... + \left( {n - 1} \right)C_n^n x^n \\ \end{array}\[/TEX]

Thay [TEX]x = \frac{1}{{n - 1}}\[/TEX] vào đẳng thức trên ta được:
[TEX]\begin{array}{l}\frac{n}{{n - 1}}\left( {\frac{1}{{n - 1}} + 1} \right)^{n - 1} - \left( {\frac{1}{{n - 1}} + 1} \right)^n + 1 = \frac{{C_n^2 }}{{\left( {n - 1} \right)^2 }} + \frac{{2C_n^3 }}{{\left( {n - 1} \right)^3 }} + ... + \frac{{C_n^n }}{{\left( {n - 1} \right)^n }} \\ \Rightarrow \frac{{C_n^2 }}{{\left( {n - 1} \right)^2 }} + \frac{{2C_n^3 }}{{\left( {n - 1} \right)^3 }} + ... + \frac{{\left( {n - 1} \right)C_n^n }}{{\left( {n - 1} \right)^n }} = 1 \\ \end{array}\[/TEX]

 

[nguyenthetu]

ối khó hiểu quá ,đối với các bài toán khai triển nhị thức Niuton mà không được gair thích cách làm thì xem xong rồi làm lại không có được.huhu

 

[nguyenthetu]

Bài 5:Chứng minh rằng :[TEX]\frac{C_n^2}{(n-1)^2}+\frac{2C_n^3}{(n-1)^3}+...+\frac{(n-1)C_n^n}{(n-1)^n}=1 , \forall n\geq 2[/TEX]

cậu thử giải đi xem cách giải của cậu có dễ hiểu hơn không,đau đầu quá!
--------------------------------------------------------------------------------------------