Ta có thể sử dụng định lí Sturm để chứng minh [imath]m^4+m+1>0[/imath] với mọi giá trị thực [imath]m[/imath].
Tuy nhiên, vì đề bài yêu cầu chứng minh [imath]m^4+m+1>0[/imath] nên ta có thể sử dụng phương pháp khác đơn giản hơn.
Ta sẽ chứng minh rằng [imath]m^4+m+1>0[/imath] bằng cách chứng minh [imath]m^4+m+1 > m^4-m^3[/imath].
Điều này tương đương với [imath]m+1 > m^3[/imath], hoặc [imath]1 > m^3-m[/imath].
Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM: [imath]m^3 + 1 + 1 \geq 3 \sqrt[3]{m^3} = 3m[/imath], do đó [imath]m+1 \geq 3m-m^3[/imath].
Như vậy, ta cần chứng minh rằng [imath]3m-m^3 > m^3-m[/imath], hay [imath]2m^3 > 2m[/imath], hay [imath]m^3 > m[/imath].
Vì mỗi giá trị [imath]m>1[/imath] đều thoả mãn bất đẳng thức này, ta chỉ cần xét trường hợp [imath]0\leq m\leq 1[/imath].
Với [imath]0\leq m\leq 1[/imath], ta có [imath]m^3 \leq m[/imath] nên [imath]m^3 - m \leq 0[/imath].
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng [imath]m^4+m+1 > m^4-m^3 > 0[/imath] với mọi giá trị thực [imath]m[/imath].
Do đó, [imath]m^4+m+1>0[/imath] với mọi giá trị thực [imath]m[/imath], bao gồm cả [imath]m=0[/imath] và [imath]m=-1[/imath].
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
