Toán 9 Chứng minh

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực không âm [imath]x;y;z[/imath] thỏa mãn: [imath]x+ y + z = 1[/imath]
CMR: [imath]xy + yz + zx - 2xyz \le \dfrac{7}{27}[/imath]

giúp mình bài này băng phương pháp hàm bậc nhất với ạ

 

[chi254]

Cho 3 số thực không âm [imath]x;y;z[/imath] thỏa mãn: [imath]x+ y + z = 1[/imath]
CMR: [imath]xy + yz + zx - 2xyz \le \dfrac{7}{27}[/imath]

giúp mình bài này băng phương pháp hàm bậc nhất với ạ

Nguyễn Chi Xuyên
Không mất tính tổng quát ta giả sử [imath]z=min(x,y,z) \to z \le \dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{1}{3}[/imath]. Ta có: [imath]0 \le xy \le \dfrac{(x+y)^2}{4} = \dfrac{(1-z)^2}{4}[/imath]
[imath]P = xy(1-2z) + (x + y).z = xy(1-2z) + z(1 - z)[/imath]

Coi [imath]z[/imath] là tham số; [imath]xy[/imath] là ẩn số: [imath]f(xy) = xy(1-2z) + z(1-z)[/imath] là hàm số bậc nhất của [imath]xy[/imath] với [imath]0 \le xy\dfrac{(1-z)^2}{4}[/imath]
Ta có: [imath]1 - 2z > 0 \to f(xy)[/imath] đồng biến
Vậy [imath]f(xy) \le f\left(\dfrac{(1-z)^2}{4} \right)= ... = \dfrac{7}{27} - \dfrac{1}{2}.\left(z-\dfrac{1}{3}\right )^2\left(z + \dfrac{1}{6} \right) \le \dfrac{7}{27}[/imath]
Dấu [imath]"="[/imath] xảy ra khi [imath]x = y = z = \dfrac{1}{3}[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức