CMR với mọi số thực dương a;b;c tm a+b+c =3 thì : [imath]\frac{a(a+c-2b)}{ab+1}[/imath] + [imath]\frac{b(b+a-2c)}{bc+1}[/imath] + [imath]\frac{c(c+b-2a)}{ac+1}[/imath] >= 0
noooooooooooooÁp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
[imath](a^2+1)(b^2+1) \geq (ab+1)^2[/imath]
Tương tự, sau nhân các bất đẳng thức ta thu được: [imath](a^2+1)^2 (b^2+1)^2 (c^2+1)^2 \geq (ab+1)^2(bc+1)^2 (ca+1)^2[/imath]
Suy ra [imath](a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+1)(bc+1)(ca+1)[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
[imath]\dfrac{a^2+1}{ab+1} + \dfrac{b^2+1}{bc+1} + \dfrac{c^2+1}{ca+1} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{(ab+1)(bc+1)(ca+1)}} \geq 3[/imath]
[imath]\dfrac{ac+1}{ab+1} + \dfrac{ba+1}{bc+1} + \dfrac{cb+1}{ca+1} \geq 3[/imath]
Suy ra
[imath]\dfrac{a^2+ac+2}{ab+1} + \dfrac{b^2 + ba+2}{bc+1} + \dfrac{c^2 + cb+ 2 }{ca+1} \geq 6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{a(a+c-2b)}{ab+1} + \dfrac{b(b+a-2c)}{bc+1} + \dfrac{c(c+b-2a) }{ca+1} \geq 0[/imath]
Dấu = xảy ra khi và chỉ ra [imath]a=b=c=1[/imath]
Ngoài ra mời bạn tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
