Toán 9 Chứng minh

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]a,b,c>0[/imath] thỏa mãn [imath]\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2[/imath]. Chứng minh [imath]abc \leq \dfrac{1}{8}[/imath]
giúp mình câu này với mình cảm ơn ạ

 

[7 1 2 5]

Ta có: [imath]\dfrac{1}{1+a}=1-\dfrac{1}{1+b}+1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c} \geq 2\sqrt{\dfrac{bc}{(1+b)(1+c)}}[/imath]
Tương tự, ta cũng có [imath]\dfrac{1}{1+b} \geq 2\sqrt{\dfrac{ac}{(1+a)(1+c)}}[/imath], [imath]\dfrac{1}{1+c} \geq 2\sqrt{\dfrac{ab}{(1+a)(1+b)}}[/imath]
Nhân vế theo vế ta có: [imath]\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq 8\dfrac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)} \Rightarrow 8abc \leq 1 \Rightarrow abc \leq \dfrac{1}{8}[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[2712-0-3]

View attachment 209872
giúp mình câu này với mình cảm ơn ạ

Nguyễn Chi XuyênQuy đồng ta có:
[imath]3+2(a+b+c) + ab+bc+ca = 2 + 2(ab+bc+ca) + 2(a+b+c) + 2abc[/imath]
[imath]\Rightarrow 2abc + ab+bc+ca = 1[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức A-G ta có: [imath]ab+bc+ca \geq 3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/imath]
Đặt [imath]t=\sqrt[3]{abc}>0[/imath] suy ra [imath]1\geq 2t^3 + 3t^2[/imath]
[imath]\Rightarrow 2t^3 - t^2 + 4t^2 -1 \leq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow t^2 (2t-1) + (2t-1) (2t+1) \leq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow (2t-1)(t^2+2t+1) \leq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow (2t-1)(t+1)^2 \leq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow 2t-1 \leq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow abc \leq \dfrac{1}{8}[/imath]

Ngoài ra mời em tham khảo: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức