[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
giúp mình câu này vs ạ
Toán 8 Chứng minh
- Thread starter 14101311
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 291
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
giúp mình câu này vs ạ
Thi ThanhTrước hết ra có, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
[imath]x^2+y^2 \geq 2xy; x^2+1\geq 2x; y^2+1 \geq 2y[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2+y^2+1 \geq xy+x+y[/imath]
[imath]\Rightarrow (x+y+1)^2 \geq 3(xy+x+y)[/imath]
Đặt [imath]t = \dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y} \geq 3[/imath]
Điều phải chứng minh tương đương [imath]t +\dfrac{1}{t} \geq \dfrac{10}{3}[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức A-G ta có:
[imath]\dfrac{1}{t} + \dfrac{t}{9} \geq \dfrac{2}{3}[/imath]
Lại có:
[imath]\dfrac{8t}{9} \geq \dfrac{8}{3}[/imath]
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Dấu = xảy ra khi [imath]x=y=1[/imath]
Ngoài ra mời bạn tham khảo: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[imath]x^2+y^2 \geq 2xy; x^2+1\geq 2x; y^2+1 \geq 2y[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2+y^2+1 \geq xy+x+y[/imath]
[imath]\Rightarrow (x+y+1)^2 \geq 3(xy+x+y)[/imath]
Đặt [imath]t = \dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y} \geq 3[/imath]
Điều phải chứng minh tương đương [imath]t +\dfrac{1}{t} \geq \dfrac{10}{3}[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức A-G ta có:
[imath]\dfrac{1}{t} + \dfrac{t}{9} \geq \dfrac{2}{3}[/imath]
Lại có:
[imath]\dfrac{8t}{9} \geq \dfrac{8}{3}[/imath]
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Dấu = xảy ra khi [imath]x=y=1[/imath]
Ngoài ra mời bạn tham khảo: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
