Toán 8 Chứng minh

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số nguyên x,y thỏa mãn xy-23 chia hết cho 24. Chứng minh rằng $x^3+y^3$ chia hết cho 72

 

[2712-0-3]

Cho 2 số nguyên x,y thỏa mãn xy-23 chia hết cho 24. Chứng minh rằng $x^3+y^3$ chia hết cho 72

Nguyễn Chi XuyênTa có: $A= x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$
Vì $xy+1$ chia hết cho 24 nên $xy \equiv -1 (\mod 3)$ suy ra $x,y$ chia 3 một số dư 1 , số còn lại dư $-1$
Suy ra $x+y \vdots 3 \Rightarrow (x+y)^3 \vdots 9, 3xy(x+y) \vdots 9 \Rightarrow A \vdots 9$
Ta có: $xy+1 \vdots 8$ nên $xy$ lẻ . Đặt $x=2m+1; y=2n+1$
Khi đó $(2m+1)(2n+1) +1 \vdots 8 \Rightarrow 2mn +m+n+1 \vdots 4$ suy ra $m+n$ lẻ
Hay trong 2 số m,n có 1 lẻ 1 chẵn.
Từ đó suy ra $mn \vdots 2 \Rightarrow 2mn \vdots 4 \Rightarrow m+n +1 \vdots 4$
$\Rightarrow x+y = 2m+2n+2 = 2(m+n+1) \vdots 8$
$\Rightarrow A \vdots 8$

Mà 9,8 nguyên tố cùng nhau, nên $A\vdots 72$

Ngoài ra, mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học