Cho 2 số nguyên x,y thỏa mãn xy-23 chia hết cho 24. Chứng minh rằng [imath]x^3+y^3[/imath] chia hết cho 72
Nguyễn Chi XuyênTa có: [imath]A= x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)[/imath]
Vì [imath]xy+1[/imath] chia hết cho 24 nên [imath]xy \equiv -1 (\mod 3)[/imath] suy ra [imath]x,y[/imath] chia 3 một số dư 1 , số còn lại dư [imath]-1[/imath]
Suy ra [imath]x+y \vdots 3 \Rightarrow (x+y)^3 \vdots 9, 3xy(x+y) \vdots 9 \Rightarrow A \vdots 9[/imath]
Ta có: [imath]xy+1 \vdots 8[/imath] nên [imath]xy[/imath] lẻ . Đặt [imath]x=2m+1; y=2n+1[/imath]
Khi đó [imath](2m+1)(2n+1) +1 \vdots 8 \Rightarrow 2mn +m+n+1 \vdots 4[/imath] suy ra [imath]m+n[/imath] lẻ
Hay trong 2 số m,n có 1 lẻ 1 chẵn.
Từ đó suy ra [imath]mn \vdots 2 \Rightarrow 2mn \vdots 4 \Rightarrow m+n +1 \vdots 4[/imath]
[imath]\Rightarrow x+y = 2m+2n+2 = 2(m+n+1) \vdots 8[/imath]
[imath]\Rightarrow A \vdots 8[/imath]
Mà 9,8 nguyên tố cùng nhau, nên [imath]A\vdots 72[/imath]
Ngoài ra, mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
