Toán 8 Chứng minh

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
Thi ThanhChuyển vế, tách 2 phân thức ta có:
11+a211+ab+11+b211+ab0\dfrac{1}{1+a^2} - \dfrac{1}{1+ab} + \dfrac{1}{1+b^2} - \dfrac{1}{1+ab} \geq 0
aba2(1+a2)(1+ab)+abb2(1+b2)(1+ab)0\Leftrightarrow \dfrac{ab-a^2}{(1+a^2)(1+ab)} + \dfrac{ab-b^2}{(1+b^2)(1+ab)} \geq 0
Nhân cả 2 vế với (1+a2)(1+ab)(1+b2)(1+a^2)(1+ab)(1+b^2) ta được:
(ba)a(1+b2)+(ab)b(1+a2)0\Leftrightarrow (b-a) a(1+b^2) + (a-b)b(1+a^2) \geq 0
(ab)(b+ba2aab2)0\Leftrightarrow (a-b)(b+ba^2 -a-ab^2) \geq 0
(ab)[ab(ab)(ab)]0\Leftrightarrow (a-b)[ab(a-b) - (a-b)] \geq 0
(ab)2(ab1)0\Leftrightarrow (a-b)^2 (ab-1) \geq 0 luôn đúng do (ab)20;ab1(a-b)^2 \geq 0; ab \geq 1
Dấu = xảy ra khi ab=1ab=1 hoặc a=ba=b

Ngoài ra mời bạn tham khảo: Tổng hợp kiến thức đại số cơ bản 8
 
  • Like
Reactions: 14101311

SinxM2908

Học sinh mới
Thành viên
20 Tháng tư 2022
21
23
6
16
Hà Nội
11+a2+11+b221+ab\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2} \geq \dfrac{2}{1+ab}
<=>a2+b2+2(a2+1)(b2+1)21+ab<=> \dfrac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)} \geq \dfrac{2}{1+ab}
=>(a2+b2+2)(ab+1)2(a2+1)(b2+1)=> (a^2+b^2+2)(ab+1) \geq 2(a^2+1)(b^2+1)
<=>a3b+a2+ab3+b2+2ab+22(a2b2+a2+b2+1)0<=> a^3b+a^2+ab^3+b^2+2ab+2 - 2(a^2b^2+a^2+b^2+1) \geq 0
<=>ab(a22ab+b2)(a22ab+b2)0<=> ab(a^2-2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) \geq 0
<=>(ab1)(ab)20<=> (ab-1)(a-b)^2 \geq 0 ( Luôn đúng, ab1ab \geq 1)
 
  • Like
Reactions: Nguyễn Chi Xuyên
Top Bottom