Toán 8 Chứng minh

[14101311]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình câu này với ạ.

 

[2712-0-3]

View attachment 208669
giúp mình câu này với ạ.

Thi ThanhChuyển vế, tách 2 phân thức ta có:
[imath]\dfrac{1}{1+a^2} - \dfrac{1}{1+ab} + \dfrac{1}{1+b^2} - \dfrac{1}{1+ab} \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{ab-a^2}{(1+a^2)(1+ab)} + \dfrac{ab-b^2}{(1+b^2)(1+ab)} \geq 0[/imath]
Nhân cả 2 vế với [imath](1+a^2)(1+ab)(1+b^2)[/imath] ta được:
[imath]\Leftrightarrow (b-a) a(1+b^2) + (a-b)b(1+a^2) \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a-b)(b+ba^2 -a-ab^2) \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a-b)[ab(a-b) - (a-b)] \geq 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (a-b)^2 (ab-1) \geq 0[/imath] luôn đúng do [imath](a-b)^2 \geq 0; ab \geq 1[/imath]
Dấu = xảy ra khi [imath]ab=1[/imath] hoặc [imath]a=b[/imath]

Ngoài ra mời bạn tham khảo: Tổng hợp kiến thức đại số cơ bản 8

 

[SinxM2908]

[imath]\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2} \geq \dfrac{2}{1+ab}[/imath]
[imath]<=> \dfrac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)} \geq \dfrac{2}{1+ab}[/imath]
[imath]=> (a^2+b^2+2)(ab+1) \geq 2(a^2+1)(b^2+1)[/imath]
[imath]<=> a^3b+a^2+ab^3+b^2+2ab+2 - 2(a^2b^2+a^2+b^2+1) \geq 0[/imath]
[imath]<=> ab(a^2-2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) \geq 0[/imath]
[imath]<=> (ab-1)(a-b)^2 \geq 0[/imath] ( Luôn đúng, [imath]ab \geq 1[/imath])