Toán 8 Chứng minh

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
Nguyễn Chi XuyênÁp dụng bất đẳng thức Svacxo (cộng mẫu) ta có:
[imath]\dfrac{9}{ab+a+1} + \dfrac{1}{1} \geq \dfrac{16}{ab+a+2}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{ab+a+2} \leq \dfrac{9}{16 (ab+a+1)} + \dfrac{1}{16}[/imath]
Tương tự suy ra [imath]VT \leq \dfrac{9}{16 (ab+a+1)} +\dfrac{9}{16 (bc+b+1)} +\dfrac{9}{16 (ca+c+1)} + \dfrac{3}{16}[/imath]
Do [imath]abc=1 \Rightarrow\dfrac{1}{ (ab+a+1)} +\dfrac{1}{(bc+b+1)} +\dfrac{1}{(ca+c+1)} = 1[/imath]
[imath]\Rightarrow VT \leq \dfrac{3}{4}[/imath]

Dấu = xảy ra khi [imath]a=b=c=1[/imath]

Ngoài ra mời bạn tham khảo [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
 
  • Love
Reactions: Nguyễn Chi Xuyên

SinxM2908

Học sinh mới
Thành viên
20 Tháng tư 2022
21
23
6
15
Hà Nội
Đặt [imath]VT=A[/imath]
Áp dụng BĐT Cauchy dạng: [imath]\dfrac{1}{x+y} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})[/imath]

[imath]=>\dfrac{1}{ab+1+a+1} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{a+1})[/imath]

[imath]=> \dfrac{1}{ab+a+2} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{abc}{ab+abc}+\dfrac{1}{a+1})[/imath]

[imath]=> \dfrac{1}{ab+a+2} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{a+1})[/imath]

Tương tự: [imath]\dfrac{1}{bc+b+2} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{b+1})[/imath]

[imath]\dfrac{1}{ca+c+2} \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{1}{c+1})[/imath]

Cộng theo vế:

[imath]=> A \leq \dfrac{1}{4}.(1+1+1)[/imath]

[imath]=> A \leq \dfrac{3}{4}[/imath]

Dấu [imath]'='[/imath] xảy ra khi: [imath]a=b=c=1[/imath]
 
  • Love
Reactions: Nguyễn Chi Xuyên
Top Bottom