Cho [tex]x,y,z\epsilon N^{*}[/tex] sao cho [tex]2^x-1=y^z[/tex] và [tex]x>1[/tex]. Chứng minh [tex]z=1[/tex]
$2^{x}-1=y^{z} \Leftrightarrow 2^{x}=1+y^{z}$ $(1)$
Trường hợp $1$ $:$ $x \not\vdots z$
Ta có $:$ $\frac{x}{z}=\frac{a}{b}$ với $GCD(a,b)=1$ $(*)$
Khi đó $:$ $(1) \Leftrightarrow 2^{z.\frac{a}{b}}=1+y^{z} \Leftrightarrow (2^{\frac{a}{b}})^{z}=1+y^{z}$
$\Rightarrow 2^{\frac{a}{b}} \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \frac{a}{b} \in \mathbb{N}^{*}$ $($mâu thuẫn$(*)$$)$
Trường hợp $2$ $:$ $x \vdots z$
Đặt $x=kz$ $($$k \in \mathbb{N}^{*}$$)$
Khi đó $:$ $(1) \Leftrightarrow 2^{kz}=1+y^{z} \Leftrightarrow (2^{k})^{z}=1^{z}+y^{z}$ $(**)$
Theo định lý $Fermat$$,$ phương trình $(**)$ không có nghiệm nguyên khác không khi $z>2$
Với $z=1$$,$ $(1) \Leftrightarrow 2^{x}-1=y$
Khi đó phương trình có nghiệm $\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=2^{t}-1 \\ z=1 \end{matrix}\right.$ $($với $t \in \mathbb{N}^{*}$$)$
Với $z=2$$,$ $(1) \Leftrightarrow 2^{x}-1=y^{2}$
Do $x>1$ nên $2^{x} \equiv 0$ $($$mod$ $4$$)$ $\Leftrightarrow (2^{x} -1) \equiv 3$ $($$mod$ $4$$)$ $\Leftrightarrow y^{2} \equiv 3$ $($$mod$ $4$$)$ $($Vô lý$)$
Vậy phương trình có nghiệm $(x,y,z)=(t,2^{t}-1,1)$ $($với $t \in \mathbb{N}^{*}$$)$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
