Toán 9 chứng minh

[Thảo hahi.love]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho M =[tex](\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2016}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2016}[/tex]
a) chứng minh rằng M có giá trị nguyên
b) tìm chữ số tận cùng của M

 

[Lê Tự Đông]

Đặt $x_{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$; $x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
=> $x_{1}+x_{2}=2\sqrt{3}$; $x_{1}x_{2}=1$ => $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$
Đặt $S_{n}= x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$
=> $S_{2n+4} = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}^{2n+2}+x_{2}^{2n+2}) - x_{1}^{2}x_{2}^{2}(x_{1}^{2n}+x_{2}^{2n}) = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})S_{2n+2} - x_{1}^{2}x_{2}^{2}S_{2n}$ => $S_{n}$ nguyên với n chẵn => đpcm
b)$S_{2n+4} = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})S_{2n+2} - x_{1}^{2}x_{2}^{2}S_{2n} = 10S_{2n+2}-S_{2n}$
=> $S_{2n+4}$ đồng dư với $-S_{2n}$ (mod 10)
=> $S_{2n+8}$ đồng dư với $S_{2n}$ (mod 10)
=> $2n$ đồng dư với 0 (mod8) thì $S_{2n}$ đồng dư $S_{0}$ (mod 10)
=> $S_{2016}$ đồng dư 2 (mod 10)