Toán 10 Chứng minh

[Đỗ Hằng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương, thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
[tex] \frac{a^2}{2a+1} + \frac{b^2}{2b+1} + \frac{c^2}{2c+1}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{a^2 + b^2+c^2+6}}[/tex]

 

[Đỗ Hằng]

Cho a,b,c là các số thực dương, thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
[tex] \frac{a^2}{2a+1} + \frac{b^2}{2b+1} + \frac{c^2}{2c+1}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{a^2 + b^2+c^2+6}}[/tex]

Câu này mình đã làm được, xin gửi lại các bạn HMF tham khảo, nếu có cách giải nhanh hơn, các bạn góp ý giúp mình nhé.
Ta có:
[tex] VT= \frac{a(2a+1)}{2a+1} -\frac{a^2+a}{2a+1} + \frac{b(2b+1)}{2b+1} - \frac{b^2+b}{2b+1}+ \frac{c(2c+1)}{2c+1}-\frac{c^2+c}{2c+1}[/tex]
[tex] VT= a+b+c -[( \frac{a^2}{2a+1} +\frac{b^2}{2b+1} +\frac{c^2}{2c+1})+ (\frac{a}{2a+1}+ \frac{b}{2b+1} + \frac{c}{2c+1})][/tex]
BĐT Schwarz:
[tex] \frac{a^2}{2a+1} +\frac{b^2}{2b+1} +\frac{c^2}{2c+1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)+3}=1[/tex]

[tex] \frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}= \frac{a^2}{2a^2+a} + \frac{b^2}{2b^2+b}+\frac{c^2}{2c^2+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3}[/tex]

[tex] VT\leq 2-\frac{9}{2(a^2 + b^2 +c^2)+3}[/tex]

[tex]2-\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2+3)} \leq VP \sqrt{a^2+b^2+c^2+6}=t BPT\Leftrightarrow 2-\frac{9}{2t^2-9}\leq \frac{t^2-6}{t} BPT \Leftrightarrow (t-3)(2t^3+2t^2-15t-18)\geq 0[/tex] (*)

Do t lớn hơn hoặc bằng 3 ( chứng minh cho a^2 +b^2 +c^2 >= 3 từ a+b+c=3) => (*) luôn đúng
=> dpcm