Cho a,b,c là các số thực ko âm thỏa mãn đk a+b+c=1. CMR: [tex]\sum \sqrt{a+(b-c)^2}\geq \sqrt{3}.[/tex]
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a=min\left \{ a,b,c \right \}[/tex] Ta có: [tex]\sqrt{a+(b-c)^2}\geq \sqrt{a}[/tex] [tex]\Rightarrow 2a\leq b+c\Rightarrow 3a\leq a+b+c=1\Rightarrow a\leq \frac{1}{3}[/tex] Bây giờ ta đi chứng minh từ từ các BĐT: [tex]\sqrt{b+(c-a)^2}+\sqrt{c+(a-b)^2}\geq \sqrt{2(b+c)+(2a-b-c)^2}=\sqrt{2(1-a)+(1-3a)^2}\Leftrightarrow (b-c)^2(3-8a) \geq 0[/tex] [tex]\sqrt{a}+\sqrt{2(1-a)+(1-3a)^2}\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow a(3a-1)^2(4-3a)\geq 0[/tex] (đúng) Vậy ta có đpcm. *Các BĐT phụ trên đều sử dụng phương pháp dồn biến MV.
