Toán 9 Chứng minh

[Nguyễn Đăng Bình]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực ko âm thỏa mãn đk a+b+c=1.
CMR: [tex]\sum \sqrt{a+(b-c)^2}\geq \sqrt{3}.[/tex]

 

[7 1 2 5]

Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a=min\left \{ a,b,c \right \}[/tex]
Ta có: [tex]\sqrt{a+(b-c)^2}\geq \sqrt{a}[/tex] [tex]\Rightarrow 2a\leq b+c\Rightarrow 3a\leq a+b+c=1\Rightarrow a\leq \frac{1}{3}[/tex]
Bây giờ ta đi chứng minh từ từ các BĐT:
[tex]\sqrt{b+(c-a)^2}+\sqrt{c+(a-b)^2}\geq \sqrt{2(b+c)+(2a-b-c)^2}=\sqrt{2(1-a)+(1-3a)^2}\Leftrightarrow (b-c)^2(3-8a) \geq 0[/tex]
[tex]\sqrt{a}+\sqrt{2(1-a)+(1-3a)^2}\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow a(3a-1)^2(4-3a)\geq 0[/tex] (đúng)
Vậy ta có đpcm.
*Các BĐT phụ trên đều sử dụng phương pháp dồn biến MV.