Toán 9 Chứng minh

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BD và CE. Chứng minh: AB^3 + CE^3 < AC^3 + BD^3.

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]S_{ABC}=S,AB=x,AC=y(x<y)[/tex]
Ta có:[tex]AB^3+CE^3<AC^3+BD^3\Leftrightarrow x^3+\frac{8S^3}{x^3}<y^3+\frac{8S^3}{y^3}\Leftrightarrow x^6y^3+8S^3y^3<x^3y^6+8S^3x^3\Leftrightarrow x^3y^6-x^6y^3+8S^3x^3-8S^3y^3>0\Leftrightarrow (y^3-x^3)(x^3y^3-8S^3)>0[/tex]
Ta thấy:[tex]AB.AC\geq 2S\Rightarrow x^3y^3\geq 8S^3\Rightarrow x^3y^3-8S^3\geq 0[/tex]
Mà [tex]x>y\Rightarrow x^3-y^3>0[/tex]
=> đpcm