Toán 9 Chứng minh

[Love You At First Sight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tam giác ABC có các góc thỏa mãn:
tanA/2+tanB/2<= 2tanC/2
cotA/2 +cotB/2<= 2 cotC/2
CM: tam giác ABC đều

 

[zzh0td0gzz]

$$cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2} \leq 2cot \frac{C}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}} \leq \frac{2}{tan\frac{C}{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}} \leq \frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}$$(1)
Do A B C là 3 góc 1 tam giác
=> tanA/2 tanB/2 tanC/2 > 0
áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ với x;y dương
=>$\frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}} \geq \frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}$
=>(1) xảy ra khi $\frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}} = \frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}$
<=> [TEX]tan \frac{A}{2} =tan \frac{B}{2}[/TEX]
khi đó $2tan \frac{A}{2} \leq 2 tan \frac{C}{2}$
$\frac{2}{tan\frac{A}{2}} \leq \frac{2}{tan \frac{C}{2}}$
điều này chỉ đúng khi $tan \frac{A}{2}=tan\frac{C}{2}$
=>3 góc bằng nhau=>tam giác đều

 

[Ngoc Anhs]

$$cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2} \leq 2cot \frac{C}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}} \leq \frac{2}{tan\frac{C}{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}} \leq \frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}$$(1)
Do A B C là 3 góc 1 tam giác => tan 0 < tanA/2 ; tanB/2 ; tanC/2 < tan 90
=> tanA/2 tanB/2 tanC/2 > 0
áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ với x;y dương
=>$\frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}} \geq \frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}$
=>(1) xảy ra khi $\frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}} = \frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}$
<=> [TEX]tan \frac{A}{2} =tan \frac{B}{2}[/TEX]
khi đó $2tan \frac{A}{2} \leq 2 tan \frac{C}{2}$
$\frac{2}{tan\frac{A}{2}} \leq \frac{2}{tan \frac{C}{2}}$
điều này chỉ đúng khi $tan \frac{A}{2}=tan\frac{C}{2}$
=>3 góc bằng nhau=>tam giác đều

tan 90° đâu có xác định ạ!

 

[zzh0td0gzz]

tan 90° đâu có xác định ạ!

= +oo
bỏ đoạn đó đi dù sao cũng suy ra được tan > 0

 

[Ngoc Anhs]

= +oo
bỏ đoạn đó đi dù sao cũng suy ra được tan > 0

Trục tan // trục sin , em tưởng đg thẳng nối gốc tọa đọ và điểm biểu diễn góc 90 ko cắt trục tan nên tan 90 ko xđ ạ! Mới cả cos 90 = 0.